Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегральная теорема Лапласа
Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз (для краткости будем говорить «от k1 до k2 раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство. Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу , (*) где и . При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х < 0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф (-х) =-Ф (х)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х> 5 можно принять Ф (х) = 0, 5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа. Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так: . Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k1 до k2 раз, , где и . Приведем примеры, иллюстрирующие применение интегральной теоремы Лапласа. Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0, 2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей. Решение. По условию, р = 0, 2; q = 0, 8; n = 400; k1 = 70; k2=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования: ; . Таким образом, имеем . По таблице приложения 2 находим: Ф (2, 5) = 0, 4938; Ф (1, 25) = 0, 3944. Искомая вероятность . Замечание. Обозначим через m число появлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Есл и число m изменяется от k1 до k2, то дробь изменяется от до . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так: . Эта форма записи используется ниже.
|