Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейная корреляция⇐ ПредыдущаяСтр 22 из 22
Рассмотрим наиболее простой случай регрессии одной случайной величины на другую, когда обе функции регрессии и являются линейными функциями, то есть имеют вид . В этом случае обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии. Если обе функции регрессии и линейны, то говорят, что случайные величины и линейно коррелированны. Введём следующие обозначения:
и будем искать функцию линейной регрессии на в виде
,
где A и B – параметры, которые надо определить. Подставим случайную функцию в формулу , приведённую в предыдущем параграфе. Получим
,
так как . Итак, B = b. Для того, чтобы найти параметр A, воспользуемся формулой б) предыдущего параграфа (см. с. 103):
.
Отсюда получим, что . Таким образом, в случае линейной корреляции функция регрессии на имеет вид . (4.1)
Аналогично находится функция регрессии на :
. (4.2)
Из формул (4.1) и (4.2) видно, что при функции и являются возрастающими. То есть при условные математические ожидания и возрастают при увеличении соответственно величин и . Величины и называются коэффициентами регрессии соответственно на и на . Так как коэффициент корреляции , то и, поэтому , . Таким образом, уравнения прямых регрессии имеют вид:
(уравнение регрессии на ); (4.3)
(уравнение регрессии на ). (4.4)
Запишем эти уравнения в виде уравнений прямой с угловым коэффициентом .
(уравнение (4.3)), ;
(уравнение (4.4)), .
Таким образом, если – угол наклона прямой регрессии на , – угол наклона прямой регрессии на к оси , то
.
По свойству 10 коэффициента корреляции (см. с. 94) . Следовательно, . Поэтому, и при следует, что .
При прямые регрессии пересекаются в точке (a, b). При прямые регрессии сливаются. При уравнения (4.3) и (4.4) имеют вид: y = b, x = a; то есть при имеем: – величины и не коррелированы.
|