Элементы комбинаторики

Пусть даны n различных элементов произвольной природы.

Группы из n элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком расположения элементов, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно

, где .

Пример 1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трёхзначных чисел .

Если составляемые группы по m элементов из n элементов отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (порядок расположения элементов не играет роли), то такие группы называются сочетаниями из n элементов по m. Число сочетаний из n по m равно

. (2.1)

Пример 2. Чему равно число всевозможных способов выбора двух деталей из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов .

Если составляемые группы по m элементов из n элементов отличаются друг от друга либо порядком расположения элементов, либо хотя бы одним элементом, то такие группы называются размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m равно

.

Пример 3. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов .

Задачи

1. В правление фирмы входят пять человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?

3. Имеется по две монеты достоинством 5, 10 и 50 копеек. Сколько способов выбрать две из этих шести монет?

4. В розыгрыше участвуют 16 команд. Команды, занимающие 1, 2 и 3 места награждаются медалями, команды на двух последних местах покидают лигу. Сколько различных результатов может быть?

5. Сколько способов расположить на полке 5 различных книг?

6. Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на одной окружности?

7. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им оценки, если известно, что никому из них не будет поставлена неудовлетворительная оценка?

8. Даны натуральные числа от 1 до 30. Сколькими способами можно выбрать три числа так, чтобы сумма была чётной?