L - критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий применяется в двух случаях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим – равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий отвечает на вопрос о том, велика ли максимальная разность между накопленными относительными частотами двух распределений.

Ограничения:

1) при сравнении двух эмпирических распределений n_{1, 2}³ 50, при сравнении эмпирического с теоретическим n³ 5.

2) разряды должны быть представлены хотя бы в ранговой шкале и должны быть упорядочены либо по возрастанию, либо по убыванию.

Вычисления:

1) Эмпирического распределения с теоретическим равномерным.

Для этого лучше воспользоваться таблицей 39.

Таблица 39

Здесь в 1 столбце даются наименования разрядов,

во 2 столбце даются эмпирические частоты по каждому разряду f_эj, где j меняется от 1 до k,

в 3 столбце теоретическая частота, одинаковая для каждого разряда и вычисленная по формуле: f_т=n/k,

в 4 столбце находится относительная частота эмпирического распределения по каждому разряду по формуле: f_эj^*= f_эj/n,

в 5 столбце находится относительная частота теоретического распределения по формуле: f_т^*= f_т/n,

в 6 столбце найдем относительную накопленную частоту эмпирического распределения по каждому разряду по формуле: f_эj^*_cum= f_э(j-1)^*_cum+ f_эj^*,

в 7 столбце найдем относительную накопленную частоту теоретического распределения по каждому разряду по формуле: f_тj^*_cum= f_т(j-1)^*_cum+ f_тj^*,

в 8 столбце найдем разность между 6 и 7 столбцом по модулю по формуле:

d=| f_эj^*_cum - f_тj^*_cum |

Далее определим, в каком разряде наибольшее значение разности, и сравним его с критическим, определенным по таблице 6 приложения 2 для данного n.

Если d_max> d_{0, 01}, то эмпирическое распределение отличается от теоретического, если d_max £ d_{0, 05}, то эмпирическое распределение не отличается от теоретического, если d_{0, 05}< d_max £ d_{0, 01,} то отличие эмпирического распределения от теоретического значимо на 5% уровне.

Пример. С учащимися 3-х классов проводилось исследование уровня притязаний. Предлагалось 12 мыслительных задач (матрицы Равена) разной степени сложности (номер соответствовал степени сложности). Можно ли утверждать, что в этом возрасте первый выбор равномерно распределяется по всем номерам задач.

Решение: n=39 это больше 5. Разрядные интервалы представлены количественно и упорядочены по возрастанию, следовательно, можно применять кр. λ.

Таблица 40

Количество учащихся, выбравших данный номер задания и расчет критерия l

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение первого выбора в 3 классе всех степеней сложности задач является равномерным.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 40, где f_т=39/12=3, 33. d_max=0.4039 Для n=39 определяем по таблице 6 приложения 2. d_{0, 01}=0.2574, d_{0, 05}=0.2147

d_max> d_{0, 01} Þ распределение не является равномерным.

Ответ: В 3 классе учащиеся неравномерно при первом выборе избирают разной сложности номера задач.

2) При сравнении эмпирического распределения с эмпирическим:

Вычисления также произведем с помощью таблицы 41.

Таблица 41

Вычисления аналогичны предыдущему случаю, только вместо теоретической частоты записывается частоты второго эмпирического распределения.

После нахождения максимальной разности dmax вычисляется значение критерия по формуле:

Если l> 1, 63, то одно эмпирическое распределение отличается от другого, если l£ 1, 36, то первое эмпирическое распределение не отличается от второго, если 1, 36< l£ 1, 63_, то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.

Пример. С учащимися 3 класса проводилось исследование на умение обобщать по тесту «пятый лишний» на вербальном и невербальном материале с одинаковым количеством заданий. За каждое правильно выполненное задание ставился балл. Результаты сгруппированных данных представлены в таблице 41. Различается ли распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе?

Решение: n₁=60 и n₂=60 это больше 50. Разрядные интервалы представлены количественно и упорядочены по возрастанию, следовательно, можно применять критерий λ.

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе отличаются.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 42.

Таблица 42

Распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе и расчет критерия l

l£ 1, 36 Þ экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: распределение частот уровня обобщения на вербальном и невербальном материале в 3 классе не различается.

Задачи:

6.1. Со студентами, обучающихся на факультетах естественно-научного цикла (120 человек) и гуманитарного цикла (115 человек), проводилась проективная методика Е.С. Романова и О.Ф. Потемкина на представление о картине мира. Картина мира в рисунке отображалась в 5 видах: планетарная, пейзажная, непосредственное окружение, метафорическая и схематическая. Результаты представлены в таблице 43. Выявляются ли различия между этими студентами по характеру отображения в рисунке картины мира. Одинаково ли часто представлены данные виды картин мира у студентов? Представить данные графически и дать анализ.

6.2. У детей 5-6 лет, воспитывающихся в полных семьях (20 человек) и неполных семьях (20 человек), исследовались особенности воображения по методике «дорисовывание фигур» Е.П. Торренса в модификации О.М. Дьяченко и А.И. Кирилловой. Было получено, что дети используют различные сферы при создании рисунка. Результаты представлены в таблице 44. Различаются ли дети, воспитывающиеся в полных и неполных семьях, по частоте выбора сфер детьми. Представить график графически и дать ему анализ.

Таблица 43

Распределение студентов естественно-научного и гуманитарного цикла по характеру отображения картины мира на рисунке

Таблица 44

Количество рисунков, относящихся к разным

сферам, у детей из полных и неполных семей

6.3. В 3 классе изучался невербальный интеллект по тесту Кеттелла. В данном тесте первый субтест направлен на изучение умения находить закономерности в ряду. Третий субтест изучает то же умение на основе аналогий. Различается ли распределение частот (данные представлены в таблице 45) уровня нахождения закономерностей на основе аналогии и без них в 3 классе?

Таблица 45

Результаты исследования умения

находить закономерности в ряду

Таблица 46

Количество выборов мотивов учебной

деятельности студентов 1 и 5 курсов

6.4. Со студентами 1 и 5 курса факультета педагогики и психологии по 40 человек каждого курса проводилась методика на изучение мотивов учебной деятельности студентов. Результаты представлены в таблице 46. Выявляются ли значимые различия в выраженности мотивов студентов 1 и 5 курса.

Таблица 47.

Количество суждений в понимании состояний и отношений человека на основе его мимики, отражающих разные качества, юношами с патологией поведения

6.5. С юношами с патологией поведения олигофрения, шизофрения и эпилепсия (в каждой группе по 33 человека) проводилась методика «Диагностика способности к адекватному пониманию невербального поведения» В.А. Лабунской. На основе решения первой задачи, направленной на диагностику адекватности понимания состояний и отношений человека на основе мимики, выявлялись вербальные значения, относящиеся к определенным психологическим и социально-психологическим явлениям, которые отображены в таблице 47.

6.6. После коррекционной работы, направленной на развитие операции сериации, в экспериментальной группе (50 человек) и контрольной (60 человек) был проведен контрольный срез на уровень сформированности данной операции. Результаты представлены в таблице 48. Можно ли утверждать, что реализуемая программа была эффективной.

Таблица 48

Количество испытуемых, получивших балл

по тесту, изучающему операцию сериации

6.7. В выборке студентов мужского пола технических вузов проводился тест Люшера в 8-цветном варианте (Сидоренко Е.В., 1996). Результаты представлены в таблице 49. Можно ли утверждать, что распределение желтого цвета по 8-ми позициям у данных испытуемых отличается от равномерного распределения?

Таблица 49

Эмпирические частоты попадания желтого

цвета на каждую из 8 позиций

Таблица 50

Количество слов, прочитанных за 1 мин

6.8. Различаются ли средние показатели детей 7-8 лет с ЗПР и нормальным уровнем развития по уровню тревожности, измеренному по тесту тревожности Кондаша в обработке А.М.Прихожан? Результаты представлены в таблице 23 стр.47. Сравнение выполнить по всем видам тревожности: школьной, самооценочной и межличностной, а также общему уровню.

6.9. В 8 и 10 классах проводилось исследование темпо-ритмических показателей. Один из них – скорость чтения за 1 минуту. Результаты представлены в таблице 50. Различаются ли средние показатели скорости чтения в 8 и 10 классах?

6.10. В 5, 6 и 7 классах проводилось исследование обобщения по тесту Р.Амтхауера. Результаты даны в таблице 12, стр. 18. Различаются ли средние показатели в 5 и 6 классах, 6 и 7 классах, в 5 и 7 классах?