Введение. Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации

РЕФЕРАТ на тему:

«Вторая производная, ее геометрический и физический смысл».

Выполнила студентка 22 ППВ группы

Синильникова Анастасия

2016 год

Введение.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Вторая производная – это производная от первой производной:

Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…»

Геометрический смысл второй производной.

Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона f' (х) положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента х. Следовательно, неравенство f" (х) > 0 указывает на то, что наклон f (x) есть возрастающая функция х и, значит, при увеличении х кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 1). Аналогично если f" (х) < 0, то будем говорить, что кривая y = f (х)выпукла (рис. 2).

Рис. 1-2. Вогнутость и выпуклость кривой

Парабола y = f (х) = х² всюду вогнута, так как ее вторая производная (f" (х) = 2) всегда положительна. Кривая y = f (х) = x³ вогнута при х> 0 и выпукла при х< 0; это видно по ее второй производной f" (х) = 6х, в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при х = 0 имеем f' (х) = 3х² = 0 (но нет ни минимума, ни максимума!), а также и f" (х) = 0 при х = 0. Эта точка называется тезкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось х) пересекает кривую.

Если буква s обозначает длину дуги кривой, а буква α - угол наклона, то функция α = h (s) есть функция переменного s. При передвижении точки по кривой функция α = h (s) будет меняться. Скорость этого изменения h' (s) принято называть кривизной кривой в точке, для которой длина дуги равна s. Без доказательства отметим, что кривизна k может быть выражена с помощью первой и второй производных от функции y = f (x), определяющей кривую, согласно следующей формуле:

k = f" (x): (1 + (f'(x))²)^3/₂