Тема: Основи математичної статистики.

Ціль:

1. Ознайомитися з методом моментів.
2. Ознайомитися з методом максимальної правдоподібності.
3. Розрахунок довірчого інтервалу.

Теоретичні відомості:

Для отримання точкових оцінок невідомих параметрів розподілу практично використовуються чотири методи: метод моментів, метод мінімальної дисперсії оцінки, метод максимальної апостеріорної вірогідності і метод максимальної правдоподібності. З них найчастіше застосовуються метод моментів і метод максимальної правдоподібності.

При методі моментів вибіркові моменти прирівнюються до відповідних моментів теоретичного розподілу, які є функціями від невідомих оцінюваних параметрів. У разі оцінки одного параметра досить мати одне рівняння щодо цього параметра.

Хай, наприклад, заданий вид щільності вірогідності , визначуваний одним параметром і потрібно знайти оцінку цього параметра. Слідуючи методу моментів, прирівняємо перший теоретичний момент першому вибірковому моменту

:

. (4.10)

Вирішивши це рівняння відносно , знайдемо оцінку , яка є функцією від вибіркової середньої і, отже, функцією вибіркових значень:

.

При оцінці невідомих параметрів , , …, слід знайти перший, другий,.., -й моменти розподілу

= , .

а потім відповідні вибіркові моменти:

=

і прирівняти їх. Тоді отримаємо систему рівнянь з невідомими:

= . (4.11)

Вирішивши систему (4.11), визначимо оцінки невідомих параметрів.

Гідністю методу є його простота. Оцінки по методу моментів в сенсі ефективності не є «якнайкращими» — у великих вибірках вони мають не найменшу дисперсію.

Метод максимальної правдоподібності, як і два інших методу, базується на розгляді апостеріорної (післядослідної) щільності вірогідності:

, (4.12)

де — коефіцієнт, залежний від результатів вибірки, але не залежний від параметра ; — апріорна (додосвідний) щільність вірогідності параметра ; — функція правдоподібності.

Якщо щільність вірогідності випадкової величини містить один, що підлягає оцінці параметр , то функція правдоподібності для цього параметра при незалежній вибірці об'єму має вигляд:

(4.13)

За оцінку максимальної правдоподібності параметра приймається таке його значення , при якому досягає максимуму, тобто така оцінка є розв’язанням рівняння правдоподібності:

=0 (4.14)

При оцінці невідомих параметрів , , …, розподілу оцінки визначаються як рішення системи рівнянь

, (4.15)

Оцінки, отримані по цьому методу, за досить загальних умов є спроможними, асимптотично незміщеними, асимптотично нормальними і асимптотично ефективними. На практиці цей метод іноді приводить до складних систем рівняннь.

Точкові оцінки застосовуються перш за все тоді, коли з їх допомогою потрібно провести ще і інші розрахунки. Такі оцінки не несуть інформації про точність конкретної оцінки. При малих вибірках вони випадкові, а тому малонадійні. Точність і надійність оцінки дозволяють визначити інтервальні оцінки.

Хай з досвіду отримана незміщена оцінка параметра . Для розумного використання цієї оцінки на практиці потрібно знати вірогідність того, що при даному об'ємі вибірки відхилення оцінки від оцінюваного параметра не перевищить межі :

(4.16)

де — точність оцінки; — довірча ймовірність (надійність) того, що при даному оцінка буде мати точність ; (; ) — довірчий інтервал. Величина визначається конкретними умовами задачі і зазвичай вибирається рівної 0, 95, 0, 99, 0, 999. Переймаючись якими двома з величин , , пов'язаних співвідношенням (4.16), можна знайти треттю. Для цього потрібно знати закон розподілу оцінки , який в загальному випадку залежить від самих невідомих параметрів. Однак іноді вдається перейти в (4.16) від к таким функціям выбіркових значень, закон розподілу котрих залежить тільки від обсягу вибірки і закона розподілу випадкової величини и не залежить від невідомих параметрів.

Якщо вибірка об'єму проведена з генеральної сукупності гауса з параметрами і , то довірчі інтервали для оцінок параметрів з вірогідністю розраховуються по наступних формулах:

1. Довірчий інтервал для математичного очікування при відомій дисперсії будується на основі вибіркової функції , що має стандартний нормальний розподіл з параметрами , . У цьому випадку з формули (4.16) приходимо до виразу

, (4.17)

де визначається з рівності по таблиці додатку II.

2. Довірчий інтервал для математичного очікування при невідомій дисперсії будується з використанням вибіркової функції , що має -розподіл Стьюдента з мірами свободи. В цьому випадку формула (4.16) приводить до виразу:

, , (4.18)

де

,

- процентна точка -розподілення Стьюдента з ступенями свободи, визначувана по таблицях додатку IV з умови

= = = ; .

3. Довірчий інтервал для дисперсії будується з використанням вибіркової функції , що має -розподіл Пірсону з ступенями свободи, відповідно до формули

, (4.20)

де - — процентна точка -розподілу Пірсона з ступенями свободы, визначувана рівністю

= = = .

Процентні точки - розподілу приведені в додатку III. - розподіл асиметричний, . На практиці зазвичай обирають і так, щоб = = .

Статистичні гіпотези можуть формулюватися або щодо невідомих параметрів відомого розподілу (параметричні гіпотези), або щодо невідомого закону розподілу (непараметричні гіпотези). Можливі і інші варіанти гіпотез.

При двохальтернативній ситуації, коли відбувається одна з двох подій, розглядають дві гіпотези: початкову (нульову або основну) і конкуруючу (альтернативну) , яка протирече . Задача полягає в тому, щоб за наслідками спостережень прийняти одну з них. З - за випадкового характеру явищ будь-яке рішення (вибір однієї з гіпотез) супроводжується помилками двох видів. Помилка першого роду виникає тоді, коли відкидається правильна гіпотеза, а помилка другого роду — коли приймається неправильна гіпотеза.

Нехай бачимо подія обумовлено однією з двох причин: (гипотеза ) або (гипотеза ); — простір всіх можливих значень спостережуваної величини ; — область прийняття гіпотези ; — область відклонення гіпотези (критична область); , — умовні щільності ймовірності точки простіру ; , — априорні ймовірності и ; — умовна ймовірність помилки першого роду (рівень значимості критерію); — умовна ймовірність помилки другого роду;; — потужність критерію; и — безумовні ймовірності помилок першого і другого роду; — сумарна ймовірність помилки.

Тоді справедливі наступні співвідношення:

, (4.21)

, (4.22)

, . (4.23)

У радіотехнічних застосуваннях найчастіше застосовуються два оптимальних правила рішення: критерій ідеального спостерігача (критерій Котельникова — Зігерта) і критерій Неймана — Пірсону.

Критерій ідеального спостерігача застосовується тоді, коли немає відмінності в значущості помилок першого і другого роду і коли відома апріорна ймовірність кожній з гіпотез, що характерний для радіозв'язку. При цьому критерії правило рішення полягає в наступному:

якщо , то приймається , _

якщо , то приймається . (4.24)

де

, (4.25)

— відношення правдоподібності; — постійний поріг, який є рішенням рівняння

. (4.26)

Критерій ідеального спостерігача мінімізує вірогідність повної помилки

. (4.27)

Критерій Неймана — Пірсону застосовується у випадках, коли значущість помилок і різна, а апріорна вірогідність гіпотез невідома ((характерний для задач радіолокації). При цьому критерії оптимальним вважається таке рішення, коли при заданій помилці першого роду мінімізується помилка другого роду. Рішення виноситься на підставі порівняння відношення правдоподібності з порогом :

. (4.28)

Поріг визначається по наперед заданій помилці першого роду

. (4.29)

Для перевірки гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності зазвичай використовують критерій згоди , при якому за міру розбіжності теоретичного і статистичного розподілів береться величина (4.3), яка при асимптотично розподілена згідно із законом з ступенями свободи, незалежно від розподілу випадкової величини .

Критерій для гіпотези з рівнем значущості відкидає , якщо обчислене по вибірці значення і приймає , якщо . Величина визначається з умови

по таблицях додатку III, при заданих і . Рівень значущості найчастіше вибирається рівним 0, 05 або 0, 01.

При застосуванні критерію необхідно, щоб величини і були достатньо великі (рекомендується , ). Якщо число спостережень в окремих інтервалах дуже мало (одне-два спостереження), то слід об'єднати деякі інтервали.

Приклад 1.

Генеральна сукупність розподілена по нормальному закону з невідомими параметрами і :

.

Обчислити по незалежній вибірці , , …, оцінки невідомих параметрів и : 1) методом моментів; 2) методом максимальної правдоподібності.

Розв’язання. Одновимірна нормальна щільність ймовірністі визначається двома параметрами і .

1. Параметри і є відповідно початковим моментом першого порядку і центральним моментом другого порядку : . Початковий емпіричний момент першого порядку дорівнює вибіркової середньої ,

а центральний момент другого порядку — вибіркової дисперсії . Прирівнявши відповідно до методу моментів відповідні теоретичні і вибіркові моменти, отримаємо оцінки параметрів нормального розподілу:

, .

1. Відповідно до (4.13) функція правдоподібності має вигляд

= ,

а логарифмічна функція правдоподібності:

.

Використовуючи формулу (4.15), отримуємо систему двох рівнянь відносно і :

,

.

Звідси знаходимо

,

= = .

В даному випадку оцінки, знайдені по методу моментів і по методу максимальної правдоподібності, співпадають. Вони є спроможними, причому перша з них незміщена, а друга зміщена.

Приклад 2.

Проведено 16 незалежних вимірювань випадкової величини , розподіленою по нормальному закону. По вибірці знайдена вибіркова середня =4, 1.

Оцінити невідоме математичне очікування випадкової величини по вибірковій середній за допомогою довірчого інтервалу з надійністю = 0, 95, якщо: 1) середнє квадратичне відхилення величини відомо і рівне одиниці; 2) середнє квадратичне відхилення невідомо, а вибіркове середнє квадратичне відхилення величини .

Розв’язання. 1. За умовою, =0, 95. Отже, . З таблиці додатка II знаходимо значення =1, 96, якому відповідає 0, 975. Визначимо точність оцінки = = = 0, 49. Згідно з формулою (4.17) при =4, 1 довірчий інтервал має довірчі границі:

, .

Таким чином, значення невідомого параметру , узгоджуються з даними вибірки, задовольняють нерівності:

.

2. Випадкова величина підкоряється -розподілу Стьюдента з ступенями свободи. Тому довірчий інтервал будується по формулі (4.18).

По умові: = , , = = .

Використовуючи таблиці додатку IV, отримуємо: .

Тоді довірчі границі рівні:

,

.

В даному випадку з надійністю =0, 95 невідомий параметр поміщений в довірчому інтервалі:

3, 57 < < 4, 63.

Приклад 3.

Проведено чотири вимірювання дальності до нерухомої мети за допомогою радіолокатора, в результаті отримані наступні дані: 2470, 2490, 2580, 2520 м

Оцінити точність радіолокатора при надійності оцінки =0, 95.

Розв’язання. Визначимо вибіркові характеристики і . По

формулам (4.5) і (4.9) маємо:

= м,

м².

По таблиці додатку III для , = = =0, 025 і = =0, 975 знаходимо

=9, 35, =0, 216.

Границяи довірчого інтервалу для дисперсії є:

= =736, = 31900.

Тоді 736 м² < < 31900 м².

Оцінка середнього квадратичного відхилення

или 27, 2 м < < 178 м.

Результат показує, що для визначення точності радіолокатора чотирьох вимірювань мало.

Приклад 4.

Помилки 500 результатів вимірювань дальності до цілі радіодальномеру приведені в таблиці

Інтервал м	-25; -15	-15; -5	-5; 5	5; 15	15; 25
Число помилок в інтервалі
Відносна частота	0, 10	0, 26	0, 40	0, 20	0, 04

Потрібно: 1) побудувати гістограму і емпіричну функцію розподілу помилок вимірювання дальності; 2) апроксимувати вибірковий розподіл за допомогою нормального закону; 3) користуючись критерієм згоди з рівнем значущості , перевірити узгодженість теоретичного і емпіричного розподілів.

Розв’язання. 1. По умові, число інтервалів , а довжина інтервалів = 10 м. Використовуючи формули (4.2), (4.1), дані таблиці будуємо гістограму і функцію розподілу , графіки яких відповідно зображені на на рис. 5.1 и 5.2.

рис. 5.1 рис 5.2

Гістограма виборки Емпірична функція розподілу

3. По методу моментів замінимо теоретичні параметри і їх вибірковими характеристиками і . Останні визначимо по формулах (4.9) і (4.10):

=-1, 8 м,

м²,

м,

де — середини інтервалів: —20, —Ю, 0, 10, 20.

Тоді вирази оцінок щільності вірогідності і функції розподілу матимуть вигляд:

,

.

3. Для определения меры расхождения (4.3) необходимо вычислить вероятности

, де , — границі -го інтервала, а знаходиться з таблиці додатку II. Так, наприклад, для четвертого інтервалу (5; 15) маємо: =0, 2012. Результати обчислень інших ймовірностей зведені в таблицю:

Інтервал , м	-25; -15	-15; -5	-5; 5	5; 15	15; 25
	0, 0821	0, 2818	0, 3794	0, 2012	0, 0417

Підставивши відповідні значення у формулу (4.3), получим розбіжність:

=3, 427.

Оціночними значеннями замінені два параметри нормального розподілу. Тому число ступенів свободи =2. Из З таблиці додатку III при , знаходимо

=9, 21.

Оскільки =3, 427 < = 9, 21, то гіпотезу про те, що помилка вимірювання розподілена по нормальному закону, можна вважати правдоподібною.

Приклад 5.

На вхід радіоприймального пристрою в певний фіксований момент часу впливає випадкове напруга , яке є або сумою відомого сигналу і завади (гипотеза ), або однієї завадою (гипотеза ). Завада — гауссовский стаціонарний шум з нульовим математичним очікуванням і відомою дисперсією . Апріорні ймовірності гіпотез однакові: . В момент проводиться вимірювання величини .

Потрібно: 1) побудувати правило рішення; 2) обчислити умовну ймовірність помилок першого і другого роду, а також повну ймовірністьпомилки.

Розв’язання. За відсутності сигналу , тому

.

За наявності сигналу . Отже,

.

3. Відповідно до (4.23) правило рішення приймає вигляд

= ,

що еквівалентно (після логарифмування) нерівності .

Таким чином, ухвалюється рішення про наявність сигналу (),

якщо зміряне значення (область ); при (область

) констатується відсутність сигналу ().

3. По формулах (4.20) і (4.22) знаходимо ймовірністьпомилок:

,

= ,

де визначається по таблиці додатку II.

Графіки щільності ймовірності, а також помилки і показані на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Нормальна щільність ймовірності і помилки першого і другого роду

Завдання.

1. Проведена вибірка об'ємом = 100 з великої партії однотипних радіоламп. Середній термін служби радіолампи вибірки виявився рівним 5000 ч.

Знайти з надійністю 0, 95 довірчий інтервал для середнього терміну служби радіолампи у всій партії, якщо середнє квадратичне відхилення терміну служби складає 40 ч.

2. Випадковий радіосигнал розподілений по нормальному закону, причому його середнє значення невідоме, а дисперсія =1В². Проведено 100 вимірювань сигналу, по яких визначено значення вибіркового середнього В.

Визначити величину довірчої вірогідності , з якою може бути гарантована гранична погрішність вимірювання середнього значення сигналу = 0, 2.

3. Розподіл вибірки об'ємом задано таблицею

Оцінити з надійністю 0, 95 математичне очікування випадкової величини розподіленою по нормальному закону, по вибірковій середній за допомогою довірчого інтервалу.

4. Проведено десять незалежних вимірювань випадкової величини підпорядкованою нормальному закону з невідомими параметрами і . Результати вимірювань представлені в таблиці:

Номер вимірювання,
Результат вимірювання	2, 5		-2, 3	1, 9	-2, 1	2, 4	2, 3	-2, 5	1, 5	-1, 7

Знайти оцінку для математичного очікування і побудувати довірчий інтервал, відповідний довірчій ймовірності =0, 95.

5. Проведено 12 вимірювань напруги радіосигналу одним і тим же приладом, що не має систематичної помилки, причому вибіркове середнє квадратичне відхилення випадкових помилок виявилося рівним 0, 6 В.

Знайти точність приладу з надійністю 0, 99.

6. На контрольних випробуваннях 16 радіоламп було визначено вибіркові характеристики їх терміну служби, які виявилися рівними =3000 ч і = 20 ч.

Вважаючи, що термін служби кожної лампи є нормальною випадковою величиною, визначити: а) довірчий інтервал для математичного очікування і середнього квадратичного відхилення при довірчій вірогідності 0, 9; б) з якою вірогідністю можна стверджувати, що абсолютне значення помилки визначення не перевищить 10 ч, а помилка у визначенні буде менше 2 ч? определения не превзойдет 10 ч, а ошибка в определении будет меньше 2 ч?

7. На телефонній станції проводилася реєстрація числа неправильних з'єднань , у хвилину. Результати спостережень приведені в таблиці

Потрібно: а) визначити вибіркові характеристики і і перевірити виконання основної умови для розподілу Пуассона, б) знайти теоретичний розподіл Пуассона і перевірити ступінь відповідності теоретичного і емпіричного розподілів по критерію з рівнем значущості = 0, 05.

8. Проведені випробування 500 радіоприймачів на їх чутливість. Дані відхилень чутливості від номінала вказані в таблиці

Інтервали чутливості, мкВ	-4; -3	-3; -2	-2; -1	-1; 0	0; 1	1; 2	2; 3	3; 4

Перевірити по критерію з рівнем значущості = 0, 01 гіпотезу про те, що результати випробувань підкоряються нормальному розподілу.

9. Випробування 200 радіоламп на їх термін служби дали результати, приведені в таблиці

Термін служби, ч	300—	400—	500—	600—	700—	800—	900—	1000—	1100—

Потрібно: 1) встановити теоретичний закон розподілу терміну служби радіоламп і знайти його параметри; 2) написати вирази для щільності вірогідності і функції розподілу ; 3) користуючись критерієм встановити, чи узгоджуються дані випробувань з гіпотезою про розподіл випадкової величини по вибраному теоретичному закону.