Практична робота №1. Тема: Законы распределения одномерных случайных величин

Тема: Законы распределения одномерных случайных величин. Функция распределения вероятностей, плотность распределения вероятностей.

Цель:

1. Ознакомиться с понятиями случайной величины, типами случайных величин, типами задания закона распределения случайной величин.

2. Изучить свойства функции распределения.

3. Научиться строить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения.

Теоретические сведения:

Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее неизвестное значение. Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений (их можно пронумеровать). Возможные значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток или даже всю ось. Часто встречаются случайные величины смешанного типа, которые могут и непрерывно заполнять некоторый промежуток и принимать отдельные дискретные значения.

Полной статистической характеристикой одномерной случайной величины является закон распределения вероятностей. В случае дискретной случайной величины X под ним понимается соотношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями .

Вероятность того, что при независимых опытах событие А появится ровно раз, если при каждом опыте вероятность события А одинакова и равна , определяется формулой:

, где .

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в различных формах: табличной (ряд распределения), графической (многоугольник распределения), аналитической (в виде формулы).

Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для дискретных, так и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей , определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого числа :

(1)

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. — неубывающая функция, т. е. при

4. = (2)

Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках (рис. 1, а), функция распределения непрерывной случайной величины — непрерывную функцию (рис. 1, б) и функция распределения смешанной случайной величины— кусочно-непрерывную функцию с не более чем счетным числом скачков (рис. 1, в).

Рис. 1. Функция распределения дискретной (о), непрерывной (б) и смешанной (в) случайных величин

В прикладных задачах предполагают, что функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей области возможных значений случайных величин. При таком предположении непрерывная случайная величина X чаще всего описывается плотностью распределения вероятности , которая иногда называется дифференциальным законом распределения или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятности определяется как производная функции распределения:

(3)

Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами:

1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах:.

(4)

1. Интеграл в бесконечных пределах от функции равен единице (условие нормировки):

(5)

Очень важное практическое значение имеет гауссовская (нормальная) плотность вероятности , которая имеет вид

(6)

или

(7)

где - математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X, - дисперсия, - — среднее квадратическое (стандартное) отклонение, - — вероятное (срединное) отклонение X; = 0, 476936...

При гауссовском распределении вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал

(8)

где

, (9)

— табулированный интеграл вероятности. приложении II.

Для дискретной случайной величины плотность вероятности

(10)

где — возможные значения случайной величины X, — вероятности возможных значений , —дельта-функция (импульсная функция, функция Дирака).

Дельта-функция обладает следующими свойствами:

при любом

, (11)

В табл. 2.1 приведен ряд законов распределения дискретной случайной величины и соответствующие им характеристические функции, а также графики законов распределения при различных значениях параметров распределений. Аналогичные данные по законам распределения непрерывных случайных величин представлены в табл. 2.2.

Пример. По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пяти ракет, причем вероятность р попадания в цель при каждом пуске равна 0, 8.

Построить: 1) ряд распределения числа попаданий; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения числа попаданий.

Решение. Случайная величина X (число попаданий в цель) может принять следующие значения: , , , , , . Эти значения случайная величина X принимает с вероятностями , которые в соответствии равны:

Из вычисленных значений , видно, что наиболее вероятно попадание в цель четырьмя ракетами, в то время как промах всеми ракетами маловероятен.

Рис. 2.4. Многоугольник распределения Рис. 2.5. График функции

распределения случайной величины

1. Ряд распределения имеет следующий вид

	0, 00032	0, 00640	0, 05120	0, 20480	0, 40960	0, 32768

2. В соответствии с рядом распределения вероятностей числа попаданий в цель построен многоугольник распределения, представленный на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Многоугольник распределения

3. По определению, функция распределения .

При ,

при

при

при

при

при

при .

График функции распределения представлен на рис. 1.2.

Рис. 1.2. График функции

распределения случайной величины