Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.






Доказательство. Допустим сначала, что переставлены две соседние строки матрицы: i и i+1. Разложим определитель исходной матрицы Δ по элементам i-й строки, а определитель новой матрицы Δ ΄ - по элементам (i+1)-й строки. Разложения будут отличаться только знаком, т.к. в разложении определителя Δ ΄ каждое алгебраической дополнение Ai+1j будет иметь противоположный знак (множители (-1)i+j сменятся на множители (-1)i+1+j). Т.о. Δ =-Δ ΄ .

Если переставить не соседние строки, а, например, i-ю и (i+m)-ю, то эту перестановку можно рассматривать как последовательное смещение i-й строки на m строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а (i+m)-й строки на (m-1) вверх и (m-1) раз меняется знак, т.е. знак поменяется нечетное число раз: (m+m-1=2m-1). Следовательно, Δ =-Δ ΄ .

Для столбцов доказательство аналогично.

3. Линейное свойство определителя. Если каждый элемент какой либо строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых:

то его можно представить в виде суммы двух определителей:

Некоторая строка а=(а1, а2, …, аn) называется линейной комбинацией строк b=(b1, b2, …, bn), c=(c1, c2, …, cn), …, d=(d1, d2, …, dn), с коэффициентами λ 1, λ 2, …, λ k если она равна сумме произведений этих строк на эти числа:

a=λ 1b+λ 2c+…+λ kd, т.е. aj1bj2cj+…+λ kdj " j=1, 2, …, n

Если в определителе n-го порядка D некоторая i-я строка (ai1, ai2, …, ain) является линейной комбинацией строк (bi1, bi2, …, bin) и (ci1, ci2, …, cin) с коэффициентами l и m, то D=lD1+mD2, где D1 – определитель, у которого i-я строка равна (bi1, bi2, …, bin), а все остальные строки такие же, как и у D, а где D2 – определитель, у которого i-я строка равна (сi1, сi2, …, сin), а все остальные строки такие же, как и у D.

= +

Доказательство. Разложим каждый из определителей D, D1, и D2 по i-й строке по формуле Δ =ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin= . Заметим, что алгебраические дополнения Aij i-й у всех 3-х определителей одинаковы. Следовательно, формула D=lD1+mD2 следует из равенств aj=λ bj+mcj " j=1, 2, …, n ч.т.д.

Замечание. Линейное свойство справедливо и для случая, когда i-я строка является линейной комбинацией не 2-х, а нескольких строк.

Рассмотренные 3 свойства являются основными свойствами определителя. Следующие 5 свойств являются логическими следствиями этих свойств.

4. Определитель с двумя о динаковыми строками (столбцами), то равен 0.

Док-во. Переставим равные строки (столбцы) местами. С одной стороны, определитель не изменится, а с другой, по св-ву 2, поменяет знак. Т.е. Δ =-Δ, след-но, Δ =0.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число λ, то и определитель умножится на это число λ.

Доказательство. Вытекает из свойства 3 при m=0. Ч.т.д.

Замечание. Т.о., за знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить только общий множитель всех элементов.

Пример. , но






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.