Определитель матрицы. Разложение определителя по строке(столбцу). Теорема Лапласа. Определитель верхней и нижней треугольных матриц

Определение. Определителем квадратной матрицы n-го порядка, или определителем n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J), где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

(6)

где сумма берется по всем перестановкам J.

Пример. При n=3 получаем

Δ ₃=

Т.е. тоже число, что и по формуле (5).

Но с ростом n резко растет число n!. Так при n=4 число слагаемых уже равно 24. Поэтому на практике часто используют другие формулы. Введем новые понятия.

Минором М_ij элемента называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j. А_ij=(-1)^i+jM_ij. Пример.

Теорема. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Δ =a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in= - разложение по элементам i-й строки. (7)

Δ =a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj= - разложение по элементам j-го столбца.(8)

Доказательство (Б.д.) (с. 19).

Вычислим так называемый треугольный определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны 0. Разложим его по 1-му столбцу:

.

Определитель Δ _n-1 так же раскладываем по 1-му столбцу, Получаем треугольный определитель Δ _n-2 (n-2)-го порядка, и т.д..В результате аналогичных рассуждений, получаем Δ _n=а₁₁а₂₂…а_nn. Для треугольного определителя, у которого все элементы выше главной диагонали равны нулю, и для диагональной матрицы получаем те же результаты. Т.о. определитель треугольнойи диагональной матриц равен произведению элементов на главной диагонали. Пример.

Теорема Лапласа.

Пусть k< n, а i₁, i₂, …, i_k и j₁, j₂, …, j_k – произвольные номера, удовлетворяющие условиям 1£ i₁< i₂< …< i_k£ n и 1£ j₁< j₂< …< j_k£ n.

Определение. Минором k-го 1-го типа порядка матрицы А называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении k строк с номерами i₁, i₂, …, i_k и любых k столбцов с номерами j₁, j₂, …, j_k матрицы А. (k≤ min(m, n)). .

Пример. , миноры 1-го порядка: = , = ;

миноры 2-го порядка: , 3-го порядка

Определение. Минором k-го 2-го типа порядка матрицы А называется определитель порядка n-k, соответствующий матрице, полученной из матрицы А в результате вычеркивания любых k строк с номерами i₁, i₂, …, i_k и любых k столбцов с номерами j₁, j₂, …, j_k матрицы А. (k≤ min(m, n)). .

Пример.

Теорема Лапласа. При любом номере k< n, и при любых фиксированных номерах строк i₁, i₂, …, i_k таких, что 1£ i₁< i₂< …< i_k£ n, для определителя n-го порядка, справедлива формула:

D= (9)

Разложение определителя по k строкам i₁, i₂, …, i_k. Суммирование в этой формуле идет по всевозможным значениям индексов j₁, j₂, …, j_k, удовлетворяющие условиям 1£ j₁< j₂< …< j_k£ n.

Формула (9) является обобщением формулы (7). (Доказательство с. 25).