Основные теории прочности

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка проч­ности детали по известному напряженному состоянию, т, е. по извест­ным главным напряжениям в точках тела. Наиболее просто эта задача решается при простых видах деформации, в частности при одноосном напряженном состоянии, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений легко

Рис.1 Рис.2

установить экспериментально. Напомним, что опасным напряжением для пластичных материалов является пре­дел текучести, а для хрупких — временное сопротивление. Причем опасным является не только величина напряжения, а состояние, которого достигает материал в момент, когда напряжение достигает опасной величины. Т.е. и соответствующая этому состоянию деформация, которая является второй координатой, вторым независимым параметром диаграммы условных напряжений. Условие прочности при одноосном напряженном состоянии (рис, 1а) принимает вид: σ ₁≤ [σ ₊]; σ ₃≤ [σ ]

где [σ ₊] и [σ ] — допускаемые напряжения соответственно при растя­жении и сжатии.

В случае сложного напряженного состояния, когда два или все три главных напряжения σ ₁, σ ₂ и σ ₃ не равны нулю (рис. 1, 6), пре­дельное (опасное) состояние для одного и того же материала может иметь место при различных предельных значениях главных напряже­ний в зависимости от соотношения между ними. Поэтому эксперимен­тальная проверка опасного состояния из-за бесчисленного множества возможных соотношений между σ ₁, σ ₂ и σ ₃ и трудности осуществления таких экспериментов практически исключается. Кроме того, чтобы изобразить графически опасное состояние в случае трехосного напряженного состояния необходимо иметь шесть независимых осей, чтобы отложить на них три напряжения и три деформации, что затруднительно в трехмерном пространстве.

Другой путь решения поставленной задачи заключается в выборе критерия прочности (критерия предельного напряженно-деформиро­ванного состояния). Для этого вводится гипотеза о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

При этом предусматривается возможность проверки выбранного критерия проч­ности сопоставлением данного сложного напряженного состояния с простым, например, с одноосным растяжением (рис.2, а, б), и ус­тановления такого эквивалентного напряжения, которое в обоих слу­чаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности. Под последним в общем случае напряженного состояния понимают число n, показы­вающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компонен­ты напряженного состояния (σ ₁, σ ₂ и σ ₃), чтобы оно стало предельным: = n·σ ₁; = n·σ ₂; = n·σ ₃

Выбранные таким образом гипотезы называют механическими тео­риями прочности.

Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Предполагается, что опасное состояние тела, находящего­ся в условиях сложного напряженного состояния, определяется уров­нем одного наибольшего нормального напряжения. σ ₁ = или l σ ₃l =

Условие прочности с коэффициентом запаса n имеет вид: σ ₁≤ [σ ₊] или lσ ₃l ≤ [σ ] где [σ ] = Эта теория подтверждается на практике только для весьма хрупких и достаточно однородных материалов (стекло, гипс, некоторые виды керамики).

Критерий наибольших относительных линейных деформаций (вторая теория прочности). За критерий предельного состояния принимают наи­большую по абсолютной величине линейную деформацию, т.е. условие разрушения: = Условие прочности имеет вид = ≤ [ε ] = Учитывая, что [ε ] = [σ ]/Е, а также, что ε ₁ = условие прочности можно представить в виде ≤ [σ ]

С допускаемым напряжением нужно сравнивать не то или иное главное напряжение, а их комбинацию. Эквивалентное напряжение в этом случае будет =

Эта теория имела довольно широкое распространение, однако ввиду малой достоверности в настоящее время в расчетной практике не реко­мендуется.

Критерий наибольших касательных напряжение (третья теория проч­ности). Предполагается, что опасное состояние нагруженного тела оп­ределяется уровнем максимального касательного напряжения. Условия прочности имеют вид: s w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> П„< /m: t> < /m: r> < /m: e> < m: sub> < m: r> < m: rPr> < m: sty m: val=" bi" /> < /m: rPr> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria" /> < wx: font wx: val=" Cambria" /> < w: b/> < w: i/> < w: color w: val=" FF0000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> мах< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> ≤ [τ ] = Имея в виду, что = а [τ ] = условие прочности через главные напряжения запишется так: ≤ [σ ] а эквивалентное напряжение по третьей теории прочности определится =

Эта теория дает хорошие результаты для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Недостатком третьей тео­рии является то, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ ₂. которое оказывает определенное, хотя в большинстве случаев и незначительное, влияние на прочность материала.

Это условие вполне удовлетворительно описывает начало пластической деформации материалов, для которых характерна ее локализация.

Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (чет­вертая теория прочности). Предполагается, что опасное (предельное) состояние нагруженного тела определяется предельной величиной на­копленной удельной энергии формоизменения. Последнюю можно определить при простом растяжении в момент начала текучести u_фмах = u_ф^оп = u_{ф т}

Условие прочности будет u_фмах ≤

Полагая, что материал следует закону Гука вплоть до наступления предельного состояния, на основании того, что u_ф= и при простом растяжении в момент начала текучести (σ ₁ = σ _т; σ ₂ = σ ₃ = 0) получаем u_фт = >

Условие прочности после подстановки u_ф и значения u_фт из послед­него равенства принимает вид: ≤ =[σ ] Или если использовать второй вариант выражения удельной потенциальной энергии формоизменения ≤ =[σ ]

Расчетное уравнение четвертой теорий прочности так же можно получить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных напря­жений

Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности от ограничений, связанных с областью применимости закона Гука, и дает возможность установить начало не только пластической деформаций, но и раз­рушения. Четвертая теория прочности при­менима для пластичных материалов, оди­наково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Критерий Кулона — Мора. Этот крите­рий основан на предположении, что проч­ность материала в общем случае напряжен­ного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего и наименьшего главных напряжений (погрешность, связанная с тем, что не учитывается , обычно не превышает 12—15 %). Исходя из это­го предположения любое напряженное состояние можно представить одним кругом Мора, построенным на главных напряжениях и -

Рис.3

Если при данных и нарушается прочность материала, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Из­меняя соотношение между и , получаем для данного материала семейство предельных окружностей (рис.3). Огибающую АВСДЕ семейства предельных кругов можно с достаточной степенью точности заменить прямыми, касательными к кругам Мора, построенным для растяжения, с диаметром, равным временному сопротивлению при рас­тяжении σ в, и для сжатия — с диаметром, равным временному сопро­тивлению материала при сжатии σ в сж (рис.4).

Очевидно, рис.4 может быть перестроен в масштабе допускае­мых напряжений (рис.5). Диаметр круга для растяжения равен [σ +] =σ в/n, а для сжатия — [σ _] = σ в.сж/n

Из рассмотрения подобия треугольников О₁ О₂ а и О₁ О ₃b находим условие прочности - ≤ [σ +]

Эквивалентное напряжение по рассмотренной теории Мора = -

Теория прочности Кулона — Мора позволяет установить сопро­тивление разрушений материалов, обладающих разным сопротивле­нием растяжению и сжатию (хрупких материалов), и имеет существен­ное преимущество перед первой и второй теориями.

Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластичное состояние мате­риала определяется не только его свойствами, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и

Рис. 4 Рис. 5

температуре ведут себя как хрупкие, а хрупкие материалы при опре­деленных напряженных состояниях могут вести себя как пластичные.