Рекомендовано кафедрой электротехники и прецизионных электромеханических систем СПб ГУИТМО, протокол № от 2006г.

Ó Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2006

ã Е. А. Петров, 2006

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТОКА

Во множестве приборов и устройств электротехники, радиотехники, автоматики, телемеханики, вычислительной техники, в системах управления и электропривода токи и напряжения существуют в виде несинусоидальных, периодических функций времени f (w t). Около трех десятков таких функций представлены в приложении 1.

Обусловлено это тем, что приборы и устройства представляют собой:

- нелинейные электрические цепи с источниками синусоидальных либо несинусоидальных периодических ЭДС и токов;

- цепи линейные, содержащие генераторы специальной формы.

В пособии в качестве примера выполнен анализ линейной электрической цепи с источником, напряжение или ток которого является несинусоидальной периодической функцией времени. В задачах, предложенных в качестве домашнего задания, и предназначенных для выполнения на практических занятиях использованы аналогичные цепи.

Последовательность анализа приведена в учебниках и задачниках по курсам “Электротехника”, “Теоретические основы электротехники”, “Теория линейных электрических цепей” [1¸ 7, 9¸ 11].

Будем следовать традиции.

· Входную величину (напряжение или ток источника) разложим в ряд Фурье - представим суммой гармонических (синусоидальных) составляющих. Полученную сумму называют спектром входной величины.

· Определим комплексный коэффициент передачи электрической цепи. Тем самым установим соотношение между амплитудами и фазами составляющих выходной и входной величин.

· Рассчитаем составляющие выходной величины: напряжение на нагрузке цепи или ток в ней. Полученная сумма – спектр выходной величины.

· Для наглядного представления и оценки результатов расчета построим графики: амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи, спектры амплитуд и фаз входной и выходной величин.

· Рассчитаем действующие значения напряжения и тока последней; оценим роль составляющих в значении активной мощности рассеиваемой в нагрузке.

· В расчетах используем пакеты системы Mathcad[13]. Рекомендуем системы MATLAB [8], Mathematica [12] и им подобные.

Теперь по порядку и подробнее.

Входную величину - напряжение u (w t) или ток j (w t) источника раскладываем в ряд. Все функции, используемые в пособии, удовлетворяют условиям, выполнение которых делает эту операцию возможной.

Существуют две формы записи ряда; в них к - номер очередной составляющей. Для удобства интегрирования принято w t = x.

Составляющие обеих форм вычисляются следующим образом:

В этих соотношениях: A₀ - постоянная составляющая; B m_k, C m_k, A m_k – амплитудные значения гармоник; y_k – их начальные фазы.

Очевидно, что при таком воздействии, токи в ветвях и напряжения на ее элементах будут представлены подобной суммой составляющих.

Представляем аналитически f (x) в пределах 0 £ x £ 2p и проверяем правильность записи построением графика.

Представляя исходную функцию, ограничиваемся четырьмя отличными от нуля гармоническими составляющими. Четных составляющих нет. Постоянную составляющую полагаем нулевой гармоникой.

Рис. 2 Рис. 3

Далее используем функцию x (t) в качестве напряжения источника на входе электрической цепи. Угловая частота первой гармоники этого напряжения w₁ = 6× 10⁴ [1/c]. Представляем его, полагая x = w t

u( w t) =50 + 40, 53× sin(6× 10⁴ t + 90°) + 4, 053× sin(18× 10⁴ t + 90°) +

+ 1, 621× sin(30× 10⁴ t + 90°) + 0, 827× sin(42× 10⁴ t + 90°).

График этого напряжения в интервале t = 0, 10^-6 …2× 10^-4 [c] будет

Комплексным коэффициентом передачи электрической цепи называют отношение выходной величины к входной в комплексной форме записи. Если это отношение напряжений или токов, то частотные характеристики называют комплексными коэффициентами передачи по напряжению K _u (j w) = U _вых / U _вх, и току K _i (j w) = I _вых / I _вх. Последние соотношения представляют в виде двух функций частоты: их модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), их аргумент – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

K (j w) = | K (j w)|× e^jq(w), где | K (j w)| - АЧХ и q(w) = arg K (j w) - ФЧХ.

Рис. 5

Составляем эквивалентную схему замещения по методу комплексных чисел, в которой Z _C = 1/ j w C; Z _L = j w L; Z _rL = r + j w L.

Вновь обращаемся к системе MathCAD. Строим АЧХ и ФЧХ, полагая параметры элементов схемы следующими:

r = 10[Ом], R = 30[Ом], L = 0, 5[мГн], С = 0, 8[мкФ], w1 = 6× 10⁴[1/с],

w = 1, 100, …, 42× 10⁴[1/c]; Z _C = 1/ j w C; Z _L = j w L; Z _rL = r + j w L,

Рис. 6 Рис. 7

Определяем значения модуля и аргумента предачи K _u (j w) на частотах составляющих: k = 1, 3..7, w1 = 6× 10⁴[1/c] , w = w1, 3× w1.. 7× w1; помещаем результаты в таблицу 2.

Таблица 2

Передачи постоянной составляющей напряжения источника к нагрузке данного фильтра нет: протеканию постоянного тока в левой и правой ветвях препятствуют емкостные элементы. Если в других схемах цепей такой путь имеет место, то передачу необходимо определить. Для этого удобно использовать схему замещения по постоянному току, в которой емкостные элементы следует разомкнуть, а индуктивные - закоротить.

Подводим итоги. В первом примере несинусоидальная периодическая функция представлена приближенно суммой, содержащей постоянную составляющую и четыре гармонических составляющих. Эта функция использована в качестве входного напряжения электрического фильтра с частотой первой гармоники w1 = 6× 10⁴[1/c]. В таблице 1 приведены значения амплитуд и фаз, составляющих этого напряжения; номер постоянной составляющей принят равным нулю.

Во втором примере представлены графиками АЧХ и ФЧХ электрической цепи и вычислены параметры | K_u (j w)| и arg K_u (j w) на частотах входного сигнала; эти значения приведены в таблице 2.

Пример 3.

Используя информацию таблиц 1 и 2, рассчитываем параметры составляющих напряжения на нагрузке цепи U_{m вых} = | K _u|× U_{m вх}, и q_вых = f_вх + arg(K _u) и помещаем результат в таблицу 3.

Таблица 3

Напряжение на нагрузке в виде функции времени будет

u _вых = 34, 17sin(6× 10⁴ t + 168, 8°) + 4, 378sin(18× 10⁴ t + 116, 8°) +

+ 1, 604sin(30× 10⁴ t + 105, 8°) + 0, 8229sin(42× 10⁴ t + 101, 3°) [B].

Представляем это напряжение графиком, используя систему MathCAD. Начальные фазы составляющих выражаем в радианах и аргумент k× w1× t в виде k × x.

Сопротивление нагрузки R _н = 30[Ом], поэтому составляющие тока -

I _{вых 1} =0, 8054[A], I _{вых 3} =0, 1032[A], I _{вых 5} =0, 3781[A], I _{вых 7} =0, 01939[A].

Средняя мощность, рассеиваемая в нагрузке -

P _вых = 19, 46 + 0, 3194 + 0, 04288 + 0, 01128 = 19, 83[Вт]

Оцениавем вклад мощности каждой из четырех составляющих в сумме мощностей: 98, 1% 1, 61% 0, 216% 0, 0569%. Оказывается, что на долю мощности третьей, пятой и седьмой составляющих приходится всего лишь около двух процентов.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И

РЕКОМЕНДАЦИИ К ЕГО ВЫПОЛНЕНИЮ

1. Выразить аналитически заданное входное воздействие и разложить его в ряд Фурье. Параметры воздействия приведены в таблицах 1.1 ¸ 4.1 и приложении 1. Максимальное значение: F _M = U_M = 100[B] для источника ЭДС и F _M = J_M = 10[A] для источника тока. Частота воздействия и первой его гармонической составляющей - w₁[1/c].Количество гармоник должно быть достаточным (но не более 15) для графического представления входного воздействия их суммой. Записать входное воздействие функцией времени и построить график этой функции.

2. Объединить в таблицу значения постоянной составляющей, амплитуд и начальных фаз гармоник входного воздействия; их соотношение иллюстрировать спектральными характеристиками.

3. Представить заданную электрическую цепь схемой замещения по методу комплексных чисел. Оперируя законами Ома и Кирхгофа, составить комплексный коэффициент передачи по напряжению K _U(j w) = U _вых(w)/ U _вх(w) или току K _i(j w) = I _вых(w)/ I _вх(w) в функции угловой частоты w.

K (j w) = | K (j w)|× e ^{jarg K (jw)}.

4. Выделить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи: АЧХ ® | K (j w)| - модуль передачи, ФЧХ ® arg K (j w) – аргумент передачи. Представить эти функции графиками в диапазоне Dw[1/c], приведенном в таблицах 1.1 ¸ 4.1.

5. Рассчитать и поместить в таблицу значения передачи на частотах гармоник входного сигнала и для его постоянной составляющей.

6. Изменяя амплитуды и фазы каждой составляющей входного сигнала в соответствии с модулем и аргументом коэффициента передачи на частоте этой составляющей, рассчитать значения составляющих выходного сигнала - напряжения или тока. Записать выходной сигнал в функции времени и построить ее график.

Для разложения несинусоидальной периодической функции в ряд Фурье рекомендуем:

- вычислить самостоятельно значения амплитуд синусных и косинусных составляющих по формулам Эйлера-Фурье;

- воспользоваться справочником по математике;

- использовать составляющие ряда, приведенные в приложении 2 пособия;

Выбор за студентом, выполняющим задание по своей инициативе, или за преподавателем, выдающим это задание.

В систему MathCAD (или какую-либо иную) рекомендуем обращаться при расчете и графическом представлении функций времени и частоты.

ЗАДАНИЕ 1

Анализу подлежит электрическая цепь возможные варианты схемы которой формально изображены на рис. 1 и 2.

Рис.1 Рис.2

Перед расчетом необходимо составить схему, предложенного преподавателем варианта. В первой ветви помещаются источник ЭДС e (t) или тока j (t). В остальных - элементы L и C, элементы размыкания (Р) или замыкания (З). В качестве примера составим схему варианта 30, обратившись к формальному рисунку 2 и таблице 1.1. В первой ветви источник e (t), элементы C в ветвях 2 и 5, элемент L в ветви 10, размыкаем ветви 3, 4, 6, 7, 9 и замыкаем накоротко ветвь 8. Индексы элементов соответствуют номерам ветвей. Получили схему на рис 3. Указываем значения емкостей и индуктивностей, исключаем элементы размыкания. На рисунке 4 представлена электрическая схема варианта 30.

Рис.3 Рис.4

В таблице 1.1 указаны: параметры источника, вариант передачи, диапазон изменения частоты для построения АЧХ и ФЧХ. Последний, в случае необходимости, можно изменить по усмотрению.

Таблица 1.1

Продолжение таблицы 1.1

ЗАДАНИЕ 2

Рис.1 Рис.2

Перед расчетом необходимо составить схему, предложенного преподавателем варианта. В каждой из десяти ветвей помещаются: источник ЭДС e (t) или тока j (t), элементы R, L или C, элементы размыкания (Р) или

замыкания (З).

Рис.3 Рис.4

Указываем значения емкостей и индуктивности, направления напряжений и токов источника и нагрузки. Исключаем элементы размыкания. На рисунке 4 представлена электрическая схема варианта 26.

В таблице 2.1 указаны: параметры источника, вариант передачи, диапазон изменения частоты для построения АЧХ и ФЧХ. Последний, в случае необходимости, можно изменить по усмотрению.

Таблица 2.1

Продолжение таблицы 2.1

ЗАДАНИЕ 3

Рис.1 Рис.2

Рис. 3

Указываем значения сопротивления, емкости и индуктивности элементов. Получили схему на рис 3.

Таблица 3.1

Продолжение таблицы 3.1

ЗАДАНИЕ 4

Рис.1 Рис.2

Перед расчетом необходимо составить схему, предложенного преподавателем варианта. В каждой из ветвей, кроме источника ЭДС e (t) или тока j (t), помещаются: элементы R, L и C. В качестве примера составим схему варианта 24, обратившись к формальному рисунку 2 и таблице 4.1.

Рис. 3

Указываем значения сопротивления, емкости и индуктивности элементов. Получили схему на рис 3.

Таблица 4.1

Продолжение таблицы 4.1