Невязки

Внимательно присмотримся к картинке (см. ниже), представив, что она нарисована по данным опытов) и введём некоторые новые обозначения. Тёмными квадратиками здесь показаны значения отклика y’– точки " излома " экспериментальной линии регрессии (сама линия, чтобы не загромождать рисунок, здесь не показана). Для упрощения ситуации предполагаем реальную регрессию – линейной (она и отображена пунктирной линией). Стрелки, «упирающиеся» в эту линию снизу и сверху, символизируют собой линейные величины ± ∆ y_j, и показывают, на сколько каждый измеренный отклик y’ отличается («недотягивает» или превосходит) от «правильного» y _j, (по теории – обязательно лежащего на пунктирной линии) его значения m _Yj. Эти величины называются невязками (очевидно, что ± ∆ y_j = y _j– y’, ибо для линии теоретической регрессии: m _Yj ≡ y _j), и служат они (невязки) для «конструирования» на их основе критерия, по которому можно оценить точность модели (правильность проведённой здесь прямой линии).

y Ось откликов

y = f (x ₁)

Рис. 9.19 Невязки

Такой критерий «конструируется» на основе приведённых ниже простых рас-суждений. Модель (y=φ (x);) исследуемой системы (ситуации) считается хорошей (при-годной для описания поведения этой системы), если невязки малы на столько, что разница в поведении системы, предсказанном по модели при подстановки в неё y _j, и в поведении системы, предсказанном по этой же модели при подстановке в неё y’, практически неощютима. Это достигается при малости каждой (следовательно, и – всех) невязки. Уточнение «и – всех» наводит на мысль о «конструировании» обсуждаемого здесь критерия (обозначим его «функция Ф») путём простого суммирования всех не-вязок вдоль оси уровней (Ф= ±∆ y _j, де N – количество опытов). Однако, при таком «простом» подходе к формированию критерия мы можем получить: «функция Ф» = 0 даже тогда, когда невязки достаточно велики (модель плоха). Действительно, когда отдельные суммы положительных (больших или малых) и отрицательных (больших или малых) невязок оказываются приблизительно одинаковыми они (суммы) нейтрализуют («компенсируют» друг друга) и «фукция Ф» = (±∆ y) стремиться к нулю. Удовлетворить требования малости каждой и всех невязок можно, потребовав малости общей суммы квадратов невязок (возведение перед общим суммированием в квадрат каждой из отрицательных невязок предотвратит представлнную выше взаимную «компенсацию» и поэтому «функция Ф» окажется малой только при малости каждой из всех невязок.

Таким образом, мы можем строго математически сформулировать условие, по которому далее будем проверять правильность модели: модель пригодна, если «функция Ф» мала настолько, что дальше её уменьшить невозможно. В математике говорят «функция достигла своего минимума» (Ф = min (y’– y_j)² ≡ (±∆ y _j)² _{стремится к} min).

При этом следует подчеркнуть два обстоятельства, при которых мы таким критерием можем воспользоваться: - у нас такая модель уже должна быть в форме y=φ (x);

- мы должна провести эксперимент и выполнить N изме-

рений отклика y’ при разных уровнях x _j фактора x – получить множество { y’ }.

Только при их наличии мы сможем (см. рабочую таблицу ниже):

Макет рабочей таблицы для нахождения