Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
При разных уровнях фактора.
|
|
И это, как уже отмечалось, – результат только мысленного эксперимента и теоретических (логических) рассуждений, опирающихся на определённый «багаж» знаний, который сейчас мы пытаемся пополнить новыми понятиями. И при этом мы убедились, что значение уровня xlj, действующего в каждом опыте фактора, есть величина случайная, принадлежит она малой выборке { xl j }, получающейся из Генеральной совокупности { x } при условии, что на приборе зафиксировано значение xl. Заметим здесь, что разбиение Генеральной совокупности { x } (а с ней и Генеральной совокупности { y }) на «подмножества» происходит только в эксперименте (реальном или мысленном), ибо в функционирующей в реальной среде материальной системе никто никаких уровней не выставляет. Там непрерывно изменяются внешние условия (среди которых может оказаться фактор x, например, температура среды или освещённость), система на эти изменения реагирует изменением своего поведения (показателем этого оказывается изменение параметра-отклика y). Более того, мы знаем, что обе, фигурирующие здесь Генеральные совокупности { x } и { y }, являясь отображениями реальной системы, – непрерывны и нормально распределены. Следовательно, на картинке «густота» точек в «рое» пропорциональна плотности совместного распределения значений { x } и { y }, а дискретный «рой» точек – случайно выбранные опытом значения из сплошного «облака» возможных значений.
Учитывая всё вышеизложенное (а ещё и итоги, как мы полагаем – уже мысленно проведённогоэксперимента) мы можем сделать важный здесь для нас вывод:
для описания поведения нашей системы мы можем применить давно и хорошо известные математические понятия и соотношения, разработанные в рамках теории вероятностей и математической статистики, которые введены и используются для описания пары взаимосвязанных случайных величин X и Y.
Речь идёт об использовании уже знакомых нам понятиях (Генеральная совокупность и её основные параметры m Y и s 2 Y, выборка и выборочные параметры YlСр ~m Yl и s l2), а также о понятиях регрессия и корреляция, подробный разговор о которых ещё предстоит.
И ещё один вывод
. Мысленный «портрет» (в привычных теперь нам координатах «фактор-отклик») материальной системы (ситуации), которую мы ещё только намерены исследовать дальше, на самом деле должен выглядеть одним и сплошным «облаком» (см. ниже), из которого (в ходе реального эксперимента) «вырезается» то одна, то другая выборка в форме «роя» дискретных точек. Плотность «облака» в каждой точке (подчеркнём) это – плотность совместного распределения вероятности реализации конкретной пары значений случайных величин x и y.
В случае двух случайных величин такое «облако» – плоское и называется
корреляционным полем.
Плоскоекорреляционное поле.
Ось откликов
y
yjl {
y = m lY x
xl Ось уровней
Рис. 9.3 Возможный вид реальной локальной выборки.
Распределение плотности вдоль любой вертикали (здесь показана только одно) – условное распределение этой же плотности при x = xl. В центре, в «плотно заселённом» месте каждой вертикали где-то находится точка, изображающая собой значение отклика, равное условному математическому ожиданию (здесь y = m lY).
Выбирая интервал между xl и xl+ 1 (между соседними уровнями) оптимальным, эксперимент можно спланировать так, что «прозондировать» удастся всё (без «просветов» между отдельными выборками) поле корреляции и нанести на него множество точек ylj, каждая из которых разместиться точно над xlj. В итоге, на фоне сплошного воображаемого поля корреляции, мы увидим (здесь это не показано) единое дискретное множество точек одну «большую», дискретную выборку, которую называют экспериментальным полем корреляции.
Представленное здесь большое воображаемое «облако», названное полем корреляции, (корреляционным полем), является, как было отмечено только что, наглядной формой представления совместного распределения вероятностей реализации случайных величин X и Y. При регрессионном анализе оно оказывается ещё и начальной (исходной) формойнаглядного представления взаимосвязи (характер которой как раз и предстоит выявить) между действующим на систему фактором (его математической моделью служит случайная величина X ≡ { x }) и её (системы) на это действие реакцией, которая выражается (проявляется) в соответствующем изменении величины интересующего нас отклика системы y (параметра – тоже в форме случайной величины Y ≡ { y }).
Понятие корреляционного поля – одно из (упомянутых выше в формулировке «важного» вывода) основных понятий, которыми нам предстоит воспользоваться, как первым дополнительным «рабочим инструментом».
Другим таким инструментом-понятием является понятие факторного пространства. Так называют множество возможных в эксперименте значений факторов.
В однофакторных экспериментах факторное пространство – линейное и представляет собой часть оси x – тот её отрезок, из которого выбираются значения фактора (А).
В двухфакторных экспериментах факторное пространство – плоское и представляет собой часть плоскости XY – часть (прямоугольник), построенная на отрезках осей X и Y из которых выбираются значения факторов (А и В).
В трёхфакторных экспериментах факторное пространство – трёхмерное (объёмное) и представляет собой часть реального трёхмерного пространства XYZ – куб, построенный на отрезках осей X, Y и Z из которых выбираются значения факторов (А, В и С).
В n -факторных экспериментах факторное пространство – n - мерное (гиперобъёмное) и представляет собой часть воображаемого n -мерного пространства – конечный n -мерный гиперкуб, построенный на отрезках всех n осей, из которых (из отрезков осей) выбираются значения задействованных в таких экспериментах факторов (А, В, С и т.д.).
Далее – ещё несколько слов об особенностях корреляционных полей.
В данном случае (в случае нашего простейшего учебного примера системы с одним - единственным фактором) это поле – двухмерное («плоское). Если же предстоит рассматривать систему с двумя действующими факторами (взаимосвязь не двух, а трёх случайных величин), то корреляционное поле будет пространственным (трехмерным) «облаком», отображающим плотность распределения множества точек, каждая из которых обозначает совокупность значений трёх одновременно (в одном опыте) реализовавшихся случайных величин; X, Y (факторы) и Z (отклик), относительно которых есть хотя бы «подозрение», что они взаимосвязаны.
На рисунке (см. ниже) тёмным кружочком условно выделена центральная область трёхмерного корреляционного поля – область около наиболее вероятного значения m Z.
Y
Z
m Z
X
Рис. 9.4 Объёмное поле корреляции
В общем случае (при произвольном количестве n рассматриваемых факторов) корреляционное поле будет выглядеть (n –1)-мерным (многомерным) «облаком», которое «парит» над n -мерным факторным пространством. Но это уже невозможно отобразить наглядной геометрической картинкой. Остаётся полагаться на собственное воображение и на знания о функциях многих переменных, которые (функции) описывают подобные многомерные объекты.
Только что рассмотренная особенность разных корреляционных полей связана с размерностью факторного пространства. Но это – не единственная отличительная особенность корреляционных полей. Форма «облака», его размещение над факторным пространством и ориентация – очень важные признаки, с которыми нам предстоит знакомиться
9.1.2 Начальные сведения о корреляции и регрессии
Для начала вспомним известный философский тезис, который уже не один раз упоминался в этих конспектах:
|
|