Дата выполнения « 10 » января 2013 г.

Шифр 11 ИВТБ 452 Вариант №2

Численное интегрирование

Задание

Вычислить определенный интеграл с точностью

1.Используя формулу Ньютона-Лейбница.

2. Методами пакета.

3. Используя квадратурную формулу прямоугольников.

4. Используя квадратурную формулу трапеции.

5. Используя квадратурную формулу Симпсона.

6. При помощи разложения в ряд

Решение

1) Вычислим интеграл через формулу Ньютона-Лейбница

Тогда,

2) Для вычисления данного интеграла используем MathCad

3)

Для нахождения количества шагов найдем вторую производную функции

Тогда,

Тогда, для формулы прямоугольников шаг будет равен

Значит, количество точек интегрирования будет равно

Будем использовать формулу

. Так как достаточно большое вычислим при помощи

4)

Для формулы прямоугольников шаг будет равен

Значит, количество точек интегрирования будет равно

Будем использовать формулу

. Так как достаточно большое вычислим при помощи

5)

При помощи пакета MathCad найдем четвертую производную функции и оценим ее сверху

Значит,

Для формулы Симпсона шаг будет равен

Значит, количество точек интегрирования будет равно

Будем использовать формулу

Так как достаточно большое вычислим при помощи

6)

Воспользуемся разложением арктангенса в ряд

Найдем радиус сходимости этого ряда

Так как , то интегрировать данный ряд нельзя

Приближенное решение трансцендентных уравнений

Задание

1. Построив график функции , отделить корни. То есть, найти промежуток , внутри которого содержится единственный корень

2. Найти корень при помощи метода половинного деления с точностью

3. С той же точностью определить корень при помощи метода хорд.

4. То же выполнить с помощью метода касательных.

5. Использовать дли поиска корня метод итерации.

6. Осуществить проверку, найдя корень при помощи встроенных средств пакета.

Решение

1) Построим график функции

Данное уравнение имеет единственный корень

2)

Воспользуемся алгоритмом половинного деления, взяв

Составим таблицу

						знак	знак
0, 0000000	1, 0000000	0, 5000000	1, 0000000	-0, 4596977	0, 3775826	+	-	1, 0000000
0, 5000000	1, 0000000	0, 7500000	0, 3775826	-0, 4596977	-0, 0183111	-	+	0, 5000000
0, 5000000	0, 7500000	0, 6250000	0, 3775826	-0, 0183111	0, 1859631	+	-	0, 2500000
0, 6250000	0, 7500000	0, 6875000	0, 1859631	-0, 0183111	0, 0853349	+	-	0, 1250000
0, 6875000	0, 7500000	0, 7187500	0, 0853349	-0, 0183111	0, 0338794	+	-	0, 0625000
0, 7187500	0, 7500000	0, 7343750	0, 0338794	-0, 0183111	0, 0078747	+	-	0, 0312500
0, 7343750	0, 7500000	0, 7421875	0, 0078747	-0, 0183111	-0, 0051957	-	+	0, 0156250
0, 7343750	0, 7421875	0, 7382813	0, 0078747	-0, 0051957	0, 0013451	+	-	0, 0078125
0, 7382813	0, 7421875	0, 7402344	0, 0013451	-0, 0051957	-0, 0019239	-	+	0, 0039063
0, 7382813	0, 7402344	0, 7392578	0, 0013451	-0, 0019239	-0, 0002890	-	+	0, 0019531
0, 7382813	0, 7392578	0, 7387695	0, 0013451	-0, 0002890	0, 0005282	+	-	0, 0009766
0, 7387695	0, 7392578	0, 7390137	0, 0005282	-0, 0002890	0, 0001196	+	-	0, 0004883
0, 7390137	0, 7392578	0, 7391357	0, 0001196	-0, 0002890	-0, 0000847	-	+	0, 0002441
0, 7390137	0, 7391357	0, 7390747	0, 0001196	-0, 0000847	0, 0000174	+	-	0, 0001221
0, 7390747	0, 7391357	0, 7391052	0, 0000174	-0, 0000847	-0, 0000336	-	+	0, 0000610
0, 7390747	0, 7391052	0, 7390900	0, 0000174	-0, 0000336	-0, 0000081	-	+	0, 0000305
0, 7390747	0, 7390900	0, 7390823	0, 0000174	-0, 0000081	0, 0000047	+	-	0, 0000153
0, 7390823	0, 7390900	0, 7390862	0, 0000047	-0, 0000081	-0, 0000017	-	+	0, 0000076
0, 7390823	0, 7390862	0, 7390842	0, 0000047	-0, 0000017	0, 0000015	+	-	0, 0000038
0, 7390842	0, 7390862	0, 7390852	0, 0000015	-0, 0000017	-0, 0000001	-	+	0, 0000019
0, 7390842	0, 7390852	0, 7390847	0, 0000015	-0, 0000001	0, 0000007	+	-	0, 0000010
0, 7390847	0, 7390852	0, 7390850	0, 0000007	-0, 0000001	0, 0000003	+	-	0, 0000005
0, 7390850	0, 7390852	0, 7390851	0, 0000003	-0, 0000001	0, 0000001	+	-	0, 0000002
0, 7390851	0, 7390852	0, 7390851	0, 0000001	-0, 0000001	0, 0000000	-	+	0, 0000001
0, 7390851	0, 7390851	0, 7390851	0, 0000001	0, 0000000	0, 0000000	+	-	0, 0000001
0, 7390851	0, 7390851	0, 7390851	0, 0000000	0, 0000000	0, 0000000	+	-	0, 0000000

Значит, с точностью корень уравнения равен

3)

Вычислим корень методом хорд. Решение сведем в таблицу. Начальный отрезок . Вычисления будем проводить по рекуррентной формуле до тех пор, пока

0, 0000000	1, 0000000	1, 0000000	-0, 4596977	0, 6850734	1, 0000000
1, 0000000	0, 6850734	-0, 4596977	0, 0892993	0, 7362990	0, 3149266
0, 6850734	0, 7362990	0, 0892993	0, 0046600	0, 7391194	0, 0512256
0, 7362990	0, 7391194	0, 0046600	-0, 0000573	0, 7390851	0, 0028204
0, 7391194	0, 7390851	-0, 0000573	0, 0000000	0, 7390851	0, 0000342
0, 7390851	0, 7390851	0, 0000000	0, 0000000	0, 7390851	0, 0000000

Значит, с точностью корень уравнения равен

4)

Вычислим корень методом касательных. Решение сведем в таблицу. Начальная точка . Вычисления будем проводить по рекуррентной формуле , где до тех пор, пока

1, 0000000	-0, 4596977	-1, 8414710	0, 7503639	0, 2496361
0, 7503639	-0, 0189231	-1, 6819050	0, 7391129	0, 0112510
0, 7391129	-0, 0000465	-1, 6736325	0, 7390851	0, 0000278

Значит, с точностью корень уравнения равен

5)

Запишем уравнение в виде .

Начальная точка . Вычисления будем проводить по рекуррентной формуле , до тех пор, пока

1, 0000000	0, 5403023	0, 4596977
0, 5403023	0, 8575532	0, 3172509
0, 8575532	0, 6542898	0, 2032634
0, 6542898	0, 7934804	0, 1391906
0, 7934804	0, 7013688	0, 0921116
0, 7013688	0, 7639597	0, 0625909
0, 7639597	0, 7221024	0, 0418573
0, 7221024	0, 7504178	0, 0283153
0, 7504178	0, 7314040	0, 0190137
0, 7314040	0, 7442374	0, 0128333
0, 7442374	0, 7356047	0, 0086326
0, 7356047	0, 7414251	0, 0058203
0, 7414251	0, 7375069	0, 0039182
0, 7375069	0, 7401473	0, 0026404
0, 7401473	0, 7383692	0, 0017781
0, 7383692	0, 7395672	0, 0011980
0, 7395672	0, 7387603	0, 0008069
0, 7387603	0, 7393039	0, 0005436
0, 7393039	0, 7389378	0, 0003661
0, 7389378	0, 7391844	0, 0002466
0, 7391844	0, 7390183	0, 0001661
0, 7390183	0, 7391302	0, 0001119
0, 7391302	0, 7390548	0, 0000754
0, 7390548	0, 7391056	0, 0000508
0, 7391056	0, 7390714	0, 0000342
0, 7390714	0, 7390944	0, 0000230
0, 7390944	0, 7390789	0, 0000155
0, 7390789	0, 7390893	0, 0000105
0, 7390893	0, 7390823	0, 0000070
0, 7390823	0, 7390870	0, 0000047
0, 7390870	0, 7390838	0, 0000032
0, 7390838	0, 7390860	0, 0000022
0, 7390860	0, 7390845	0, 0000015
0, 7390845	0, 7390855	0, 0000010
0, 7390855	0, 7390849	0, 0000007
0, 7390849	0, 7390853	0, 0000004
0, 7390853	0, 7390850	0, 0000003
0, 7390850	0, 7390852	0, 0000002
0, 7390852	0, 7390851	0, 0000001
0, 7390851	0, 7390852	0, 0000001
0, 7390852	0, 7390851	0, 0000001
0, 7390851	0, 7390851	0, 0000000

Значит, с точностью корень уравнения равен

6)

Проверим вычисление корня при помощи пакета MathCad

Алгебраическая интерполяция

1. Аппроксимировать заданную функцию в узлах при помощи кусочно-линейной интерполяции

2. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа

3. Используя встроенные средства пакета, аппроксимировать функцию кубическим сплайном

4. Построить на одном рисунке график функции, ее интерполянтов, а также узлы интерполяции.

5. Для нахождения максимальной погрешности интерполяции построить графики отклонении интерполянтов от функции

Решение

Составим таблицу функции в точках

1)Аппроксимируем функцию при помощи кусочно-линейной интерполяции

В MathCad проведем кусочно-линейную интерполяцию

2) Аппроксимируем при помощи кубического сплайна

3) Интерполируем при помощи многочлена Лагранжа

4) Построим на одном графике

5) Построим график отклонении