Правило произведения

Это правило позволяет подсчитать число кортежей, которые можно составить из элементов данных конечных множеств. Для двух множеств и

(3)

Из равенства (3) следует, что число упорядоченных пар, которые можно составить из элементов множеств и равно произведению числа элементов в этих множествах.

Это правило можно сформулировать иначе:

если объект можно выбрать способами и после каждого из таких выборов другой объект можно выбрать способами, то выбор « и » можно осуществить способами.

По индукции правило умножения можно распространить на любое число сомножителей в декартовом произведении:

. (4)

Наиболее часто последнее равенство применяется, когда :

. (5)

В этом случае множество называют алфавитом, его элементы – буквами, а элементы декартова произведения – словами в алфавите . Слова записывают как в обычном языке, то есть без разделения букв запятыми и без внешних скобок: . Число называют длиной слова.

Пусть . Тогда правило (5) можно сформулировать следующим образом:

число слов длины в алфавите из букв равно .

Пример.2. Из 80 студентов 40 играют в футбол, а 50 – в волейбол, причем 27 студентов играют и в футбол и в волейбол. Сколько студентов играют хотя бы в одну из этих игр? Сколько студентов играют лишь в одну из этих игр? Сколько студентов не играют ни в одну из этих игр?

Пусть – множество студентов, играющих в футбол, – множество студентов, играющих в волейбол. Тогда , , .

Число студентов, играющих хотя бы в одну из этих игр, согласно формуле (2.1): . Число студентов, играющих только в футбол: , а только в волейбол: . Число студентов, играющих только в одну из этих игр: . Число студентов, не играющих ни в одну из этих игр: .

Пример 3. Сколькосуществует6-значных телефонных номеров?

Алфавит состоит из 10 цифр, номер – слово длины 6 в этом алфавите. Поэтому количество номеров равно .

Пример 4. Найти число слов, содержащих 4 буквы, в которых любые две соседние буквы различны (число букв в алфавите равно 33).

Первую букву можно выбрать 33-мя способами, вторую, третью и четвертую – 32 способами. Число слов равно 33∙ 32³=1081344.