Упражнение 56.

Если: конечномерно, то: ®()^* - изоморфизм.

Применим теперь всё вами доказанное к теореме о ранге матрицы. Пусть имеется поле К и прямоугольная матрица A =(a_ij) размера m´ n с компонентами из этого поля: " i, j a_ijÎ К. Как уже было упомянуто, рангом системы векторов ЛП V называется размерность подпространства ими порождённого (т.е., образованного всевозможными линейными комбинациями с коэффициентами из поля К). У матрицы A= можно рассматривать как строчный ранг R_row – размерность подпространства V, порождённого m строками R₁,..., R_m, рассматриваемыми как вектора пространства Кⁿ, так и столбцовый ранг R_column– размерность подпространства W, порождённого n столбцами С₁, …, С_n, рассматриваемыми как вектора пространства К^m.

R_i=(a_i1, a_i2, …, a_in); C_j=(a_1j, a_2j, …, a_mj). Хотелось бы, чтобы обе эти величины оказались равными – тогда можно было бы говорить о ранге матрицы.
К счастью, дело обстоит именно так, и в этом (в доказательстве этого утверждения) и состоит упражнение 57. Но прежде, чем его сформулировать, укажем на подходы к выводу этой (пока ещё) гипотезы. Возьмём вектор X =(x₁, x₂, …, x_m). Поставим ему в соответствие линейную комбинацию строк x₁R₁+...+x_mR_m. Это соответствие можно рассматривать как линейное сюръективное отображение f: К^m®V (проверьте линейность и сюръективность).

Если E - ядро этого отображения, то m=dimE+dimV=dimE+R_row.
С другой стороны, если Y Î W, то =x₁y₁+x₂y₂+…+x_my_m - билинейная форма на (K^m´ W). Проверьте её билинейность. Докажите, что у неё W^{^}={0}, (K^m)^{^}=W.

Теперь вы уже сможете сами установить, что

Упражнение 57. (теорема о ранге матрицы )

R_row =R_column. Эта величина R называется рангом матрицы A=(a_ij).