При значительном числе объектов статистическая вероятность сходится к вероятности P(t).

Надежность объекта иногда удобнее характеризовать вероятностью отказа:

q(t) = 1 - P(t) = P(t > t₀) = P(t₀ < t) (5.3)

Таким образом, вероятность появления отказа q(t) может рассматривать как вероятность того, что случайная величина t0 примет значение меньше рассматриваемого времени t. Это позволяет рассматривать q(t) как функцию распределения случайной величины t0 – времени до появления отказа.

Безотказность неремонтируемых объектов. Показателями безотказности неремонтируемых объектов (элементов) являются: вероятность безотказной работы P(t), частота отказов f(t), интенсивность отказов λ (t) и средняя наработка до первого отказа Т_ср.

Под частотой отказов элементов понимают число отказов в единицу времени, отнесенной к первоначальному числу поставленных на испытание элементов.

По статистическим данным, частота отказов, :

= n_i / (N t_i), (5.4)

где n_i – число отказов в интервале времени t_i;

N – число испытуемых элементов;

t_i – время испытаний.

При этом отказавшие в процессе испытаний элементы не заменяются новыми и число работающих элементов постепенно уменьшается.

Функция частоты отказов можно записать в следующем виде:

f(t) = [ q(t + t) - q(t) ] / t (5.5)

При t → 0 вероятность отказа за время от 0 до t может быть определена интегрированием функции f(t) в данном интервале, т.е.:

q(t) = (5.6)

Тогда за время t вероятность безотказной работы:

P(t) = 1 - q(t) = 1 - (5.7)

Чтобы получить зависимость между P(t) и f(t) в более наглядном виде, продифференцируем это равенство и получим:

dP (t)/dt = -f(t), (5.8)

или

f(t) = -dP (t)/dt = -P'(t) (5.9)

Таким образом, функция частоты отказов f(t) есть производная от функции P(t), взятая с обратным знаком. Она характеризует скорость снижения надежности во времени. Так как:

dP (t)/dt = dq (t)/dt, (5.10)

то, заменив P'(t) на q'(t), получим:

f(t) = dq (t)/dt = q'(t) (5.11)

Но q(t) есть интегральный закон распределения времени безотказной работы t₀, производная от которого представляет собой плотность распределения вероятностей случайной величины t₀. Следовательно, функция чистоты отказов f(t) – это плотность распределения времени безотказной работы, т.е. дифференциальный закон распределения случайной величины t₀.

Для системы, состоящей из ряда последовательно соединенных элементов, вероятность безотказной работы может быть представлена в виде произведения вероятностей безотказной работы всех элементов:

P_c(t) = P₁(t) P₂(t)… P_N(t) = (5.12)

Критерием, наиболее полно характеризующим надежность неремонтируемых объектов, является интенсивность отказов λ (t). В отличие от частоты отказов f(t) этот показатель характеризует надежность. Под интенсивностью отказов понимают число отказов в единицу времени, отнесенное к среднему числу элементов, безотказно работающих в данный промежуток времени. При этом отказавшие элементы не заменяются.

Из опытных данных эта характеристика рассчитывается по формуле, :

λ = /(N_ср ), (5.13)

где - число отказов за промежуток времени ;

N_ср = (N_i + N_{i +1}) / 2 – среднее число работоспособных элементов;

N_i – число элементов, работоспособных в начале рассматриваемого промежутка времени;

N_i+1 – число элементов, работоспособных в конце промежутка времени .

Интенсивность отказов λ (t) связана однозначной зависимостью с f(t) и P(t). Для нахождения этой зависимости преобразуем формула, разделив числитель и знаменатель на N , и получим:

= = = (5.14)

Переходя от дискретных понятий к непрерывным:

λ (t) = f(t) / P(t) = -P'(t) / P(t) = -dP(t) / dtP(t), (5.15)

или

λ (t) dt = -dP(t) / P(t) (5.16)

Решение этого дифференциального уравнения относительно P(t) имеет вид:

P(t) =exp [- ] + C (5.17)

Значение постоянной С найдем, воспользовавшись начальными условиями t = 0 и Р(0) = 1, следовательно С = 0. Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения имеет вид:

P(t) = exp [- ] (5.18)

Если объект содержит N последовательно включенных однотипных элементов, то λ _N (t) = N λ (t).

При наличии К групп различных элементов получим:

_{К N} (t) = N_iλ _i(t) (5.19)

Зависимость интенсивности отказов от времени эксплуатации для таких сложных объектов РЭА показана на рис. 2.3.

Пример. На испытание поставлено N =500 изделий. За время Е=2000 ч отказало n=200 изделий. За последующие t_i = 100 ч отказало еще n_i =100 изделий. Определить (2000), (2100), (2050) и (2050).