Теория множеств

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним ловом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном; родителей, детей и их родственников – семьей; большую группу людей – толпой или очередью; собрание книг – библиотекой и т.д.

Математическим понятием, отражающим объедение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества.

Под множеством понимают совокупность предметов (объектов), объединенных некоторым общим признаком.

Обозначение: M = {m}.

Приведем примеры множеств.

1. Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.

2. Множество всех рыб в Тихом океане.

3. Множество звезд в Галактике.

4. Множество студентов данного вуза.

5. Множество всех натуральных чисел.

Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр 1 является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел. В тоже время Иван 4 не является элементом множества российских императоров, потому что Российское государство получило название «империя» в 1721 г. 5 N – 5 принадлежит множеству натуральных чисел. -5 N – -5 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Если множество А не является пустым множеством, то из него можно образовать другие множества, являющиеся его частями. Так, множество птиц является частью множества позвоночных, другой частью этого множества является множество рыб, млекопитающие образуют еще одну часть этого множества. Множество четных чисел, множество простых чисел, множество чисел, кратных трем, – все это различные части множества натуральных чисел.

В математике вместо слова «часть» используют слово «подмножество».

Обозначение: N Z

Суммой нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, каждый из которых входит хотя бы в одно из данных множеств.

Пример. А = {a, b, c}

B = {a, c, p, m}

А В = {a, b, c, p, m}

Разностью множеств А и В (А \ В) называется множество всех тех и только тех элементов из множества А, которые не содержатся во множестве В.

Пример. А = {a, b, c}

B = {a, c, p, m}

А \ В = {b}

Пересечением нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, которые входят в каждое из данных множеств.

Пример. А = {n / n = 2, 4, 6, 8, …, 2m, …}

B = {n / n = 3, 6, 9, …, 3m, …}

А ∩ В = {n / n = 6, 12, …, 6m, …}, m – натуральное число.

Алгеброй множеств называется часть теории множеств, в которой изучаются свойства операций над множествами.

Основные свойства операций над множествами:

1) Свойство коммутативности (перестановочности) объединения и пересечения .

2) Свойство ассоциативности (сочетательности) объединения и пересечения .

3) Свойство дистрибутивности (распределительности) пересечения относительно .

4) Выполняются равенства .