Эмпирическая функция распределения

Полученная в результате статистического наблюдения выборка из n значений (вариант) изучаемого количественного признака X образует вариационный ряд. Ранжированный вариационный ряд получают, расположив варианты x_j, где j =1, 2,..., n, в порядке возрастания (неубывания) значений, то есть _.

Изучаемый признак X может быть дискретным, то есть его значения отличаются на конечную, заранее известную величину (год рождения, тарифный разряд, число людей), или непрерывным, то есть его значения отличаются на сколь угодно малую величину (время, вес, объем, стоимость).

Частотой m_i в случае дискретного признака X называют число одинаковых вариант x_i, содержащихся в выборке. В ранжированном вариационном ряду одинаковые варианты очевидно расположены подряд:

Вариационный ряд для дискретного признака X принято наглядно и компактно представлять в виде таблицы, в первой строке которой указаны k различных значений x_i изучаемого признака, а во второй строке - соответствующие этим значениям частоты m_i , где i =1, 2,..., k. Такую таблицу называют статистическим (выборочным) распределением.

Переход от исходного вариационного ряда дискретного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере.

Вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем), - 7, 17, 14, 17, 10, 7, 7, 14, 7, 14.

Ранжированный вариационный ряд - .

Тогда соответствующее статистическое распределение (i = 1, 2,..., k, k= 4) примет вид

Статистическое распределение для непрерывного признака X принято представлять интервальным рядом - таблицей, в первой строке которой указаны k интервалов значений изучаемого признака X вида(x_{i -1} - x_i ), а во второй строке - соответствующие этим интервалам частоты m_i , где i =1, 2,..., k. Обозначение (x_{i- 1} - x_i ) указывает не разности, а все значения признака X от x_{i -1} до x_i, кроме правой границы интервала x_i.

Для непрерывного признака X частота m_i - число различных x_j, попавших в соответствующий интервал (x_{i- 1} - x_i ).

Переход от исходного вариационного ряда непрерывного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере.

Вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем), - 3, 14; 1, 41; 2, 87; 3, 62; 2, 71; 3, 95.

Ранжированный вариационный ряд - 1, 41; 2, 71; 2, 87; 3, 14; 3, 62; 3, 95.

Получим соответствующее статистическое распределение (i =1, 2, …, k, k = 3)

Если число различных значений дискретного признака очень велико, то для удобства дальнейших вычислений и наглядности статистическое распределение такого дискретного признака также может быть представлено в виде интервального ряда.

Вместо частот m_i во второй строке могут быть указаны относительные частоты (частости). Очевидно, что сумма частот равна объему выборки (выборочной совокупности) n, а сумма относительных частот (частостей) равна единице:

.

Далее показаны четыре возможные формы представления статистических распределений с соответствующими краткими названиями.

Если в статистическом распределении вместо частот (относительных частот) указать накопленные частоты (относительные накопленные частоты), то такой ряд распределения называют кумулятивным.

Накопленной частотой называется число значений признака Х, меньших заданного значения x: H (x) = m (Х < x), то есть число вариант x_j в выборке, отвечающих условию x_j < x.

Переход от дискретного ряда частот к кумулятивному ряду (дискретному ряду накопленных частот) задается соотношениями

или в табличной форме:

Переход от интервального ряда частот к кумулятивному ряду (интервальному ряду накопленных частот) задается соотношениями

или в табличной форме:

Накопленной относительной частотой (накопленной частостью) называется отношение числа значений признака Х, меньших заданного значения x, к объему выборки n: , то есть доля вариант x_j в выборке, отвечающих условию x_j < x.

По аналогии с теоретической функцией распределения генеральной совокупности = P (Х < ), которая определяет вероятность события Х < , вводят понятие эмпирической функции распределения , которая определяет относительную частоту этого же события Х < , то есть = . Таким образом, эмпирическая функция распределения задается рядом накопленных относительных частот.

Из теоремы Бернулли следует, что стремится по вероятности к F (x):

поэтому эмпирическую функцию распределения можно использовать для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Дискретный ряд накопленных относительных частот может быть получен двумя равноправными способами:

1) переход от дискретного ряда частостей к кумулятивному ряду (дискретному ряду накопленных частостей) описывается соотношениями

или в табличной форме:

xi	x 1	x 2	x 3	…	xi	…	xk	xk +1
(xi)		w 1	w 1+ w 2	…	(xi -1) + wi -1	…	(xk -1)+ wk -1	(xk)+ wk = 1	;

2) переход от дискретного ряда накопленных частот к дискретному ряду накопленных частостей задается соотношением

Интервальный ряд накопленных относительных частот может быть получен двумя равноправными способами:

1) переход от интервального ряда частостей к кумулятивному ряду (интервальному ряду накопленных частостей) задается соотношениями

или в табличной форме:

xi -1 -xi	-Ґ- x 0	x 0 -x 1	x 1 -x 2	…	xi -1 -xi	…	xk- 1 -xk
(xi)		w 1	w 1+ w 2	…	(xi -1)+ wi	…	(xk -1)+ wk = 1	;

2) переход от интервального ряда накопленных частот к интервальному ряду накопленных частостей задается соотношением