Подбор прямоугольного сечения балки

Из эпюр изгибающих моментов находим опасные сечения В и С, где максимальные ординаты M_х^max = 5, 95 кНм и М_у^max = 5, 36 кНм.

Из условия прочности этих сечений и подбираем размеры поперечного сечения балки.

Выразим осевые моменты сопротивления через параметр t:

;

.

Тогда нормальные напряжения в сечении B:

.

Нормальные напряжения в сечении C:

.

Опасным является сечение С. Максимальное напряжение

.

Определяем размеры поперечного сечения. Из условия прочности

1 кН/см2, находим 15, 626 см. Принимаем: t = 16 см, h = 1, 6 ∙ 15, 7 = 25 см. Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.12). σ max = 3815, 6 / 163 = 0, 932 кН/см2 = = 9, 32 МПа – напряжения в опасных точках;     .

Определение прогиба балки в точке C

При косом изгибе балка получает вертикальный прогиб от действия вертикальной силы F_f = 12 кН, горизонтальное смещение от действия горизонтальной силы F ₂ = 9 кН. Полный прогиб балки определяем по формуле

.

Направление полного прогиба балки в сечении определяем по формуле

.

Угол откладываем от оси у по тому же правилу, что и угол a.

Определение перемещений. Для определения вертикальной и горизонтальной составляющей перемещения балки в точке С строим единичные вспомогательные эпюры изгибающих моментов эп. и эп. от действия единичной силы р = 1, приложенной к балке по направлению искомого перемещения, т. е. в точке C соответственно в вертикальной и в горизонтальной плоскостях. Затем определяем собственно вертикальный прогиб и горизонтальное смещение балки в точке C путём перемножения вспомогательных и грузовых эпюр, построенных от внешней нагрузки:

Построение эп. .

От действия вертикальной силы р = 1 в левой и правой опорах балки возникают вертикальные единичные опорные реакции и (рис. 5.13).

Для определения опорных реакций составляем уравнения равновесия балки в целом. Уравнение моментов относительно точки А в вертикальной плоскости:   å mА = 0:   × 2, 4 – р × 1, 3 = 0, откуда = = 0, 54.   Уравнение моментов относительно точки D в вертикальной плоскости:

å m_D = 0: × 2, 4 – р × 1, 1 = 0,

откуда = = 0, 46.

Знак «+» опорных реакций указывает на то, что их истинное направление совпадает с первоначально заданным, т. е. вверх.

Уравнение контроля – уравнение проекций всех сил на вертикальную ось y:

å F_у = 0: = 0, 46 – 1 + 0, 54 = 1 – 1 = 0.

Проверка уравнения контроля выполняется, можно переходить к построению эп. . Для этого балку предварительно разбиваем на два расчётных участка, границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил: , р = 1 и .

Построение эп. на 1-м участке

Балку разрезаем в произвольном месте. Правую часть балки отбрасываем, левую часть оставляем. Точка K 1 на оси балки, где провели сечение, закрепляется координатой z 1, отсчитываемой от начала 1-го расчетного участка. Координата z 1 изменяется в пределах 1-го расчетного участка слева направо. В начале участка она равна 0, в конце – длине расчетного участка. Действие отброшенной части заменяем изгибающим моментом , прикладываемым к оставшейся части со стороны отброшенной. Положительный момент растягивает нижние волокна оставшейся части балки (рис. 5.14). Индекс «1» означает номер расчётного участка.

Составляется уравнение равновесия для оставшейся части балки – уравнение моментов в вертикальной плоскости относительно центра поперечного сечения K ₁:

å M_{K 1} = 0: z ₁ – = 0,

откуда = z ₁ = 0, 46 z ₁, 0 £ z ₁ £ 1, 3 м.

Изгибающий момент линейно зависит от координаты z ₁, следовательно, он представляет собой прямую, для построения графика которой необходимо и достаточно знать координаты двух её точек на границах расчётного участка.

На левом конце участка при z ₁ = 0: = 0 м.

На правом конце участка при z ₁ = 1, 3 м: = 0, 46 × 1, 3 = 0, 6 м (знак «+» указывает на то, что растянуты нижние волокна балки).

Необходимо знать и ординату на эп. в точке В, где в грузовом состоянии в вертикальной плоскости приложена сила F ₁ = 12 кН, поэтому:

при z ₁ = 0, 7 м: = 0, 46 × 0, 7 =0, 32 м.

Строим эп. на 1-м расчетном участке, откладывая значения изгибающего момента со стороны растянутых волокон балки. Поскольку принято, что положительный изгибающий момент растягивает нижние волокна, то положительные значения изгибающего момента откладываем вниз от базовой линии, а отрицательные – вверх от базовой линии, т. е. со стороны растянутых верхних волокон. Полученные три точки соединяем прямой. Отложенные значения изгибающего момента на эп. , построенной от р = 1, измеряются в метрах.

Построение эп. на 2-м расчётном участке

Балку разрезаем в произвольном месте. Левую часть балки отбрасываем, правую часть оставляем. Точка K 2 на оси балки, где провели сечение, закрепляется координатой z 2, отсчитываемой от начала 2-го расчетного участка. Координата z 2 изменяется в пределах 2-го расчетного участка справа налево. В начале участка она равна 0, в конце – длине расчетного участка. Действие отброшенной части заменяем изгибающим моментом , прикладываемым к оставшейся части со стороны отброшенной. Положительный момент растягивает нижние волокна оставшейся части балки (рис. 5.15). Индекс «2» означает номер расчётного участка. Составляем уравнение равновесия для оставшейся части балки – уравнение моментов в вертикальной плоскости относительно центра поперечного сечения K 2:   å MK 2 = 0: – z 2 = 0,

откуда = z ₂ = 0, 54 z ₂, 0 £ z ₂ £ 1, 1 м.

Изгибающий момент линейно зависит от координаты z ₂, т. е. представляет собой прямую, следовательно, для построения эп. на
2-м участке необходимо определить координаты двух её точек – в начале и в конце расчётного участка.

На правом конце при z ₂ = 0: = 0 м.

На левом конце при z ₂ = 1, 1 м: = 0, 54 × 1, 1 = 0, 6 м (растянуты нижние волокна, с их стороны и откладываем ординату).

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Эпюра (м)

Построение эп. От действия горизонтальной силы р = 1 в точке C на левой и правой опорах возникают горизонтальные единичные опорные реакции и (рис. 5.17). Для определения опорных реакций составляем уравнения равновесия балки в целом. Уравнение моментов относительно точки А в горизонтальной плоскости: å mА = 0: × 2, 4 – р × 1, 3 = 0,   откуда = = 0, 54.

Уравнение моментов относительно точки D в горизонтальной плоскости:

å m_D = 0: × 2, 4 – р × 1, 1 = 0,

откуда = = 0, 46.

Знак «+» опорных реакций указывает на то, что их истинное направление совпадает с первоначально заданным, т. е. от читателя.

Уравнение контроля – уравнение проекций всех сил на горизонтальную ось х:

å F_х = 0: – р + = 0, 46 – 1 + 0, 54 = 1 – 1 = 0.

Проверка уравнения контроля выполняется, можно переходить к построению эп. . Для этого балку предварительно разбиваем на два расчётных участка, границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил: , р = 1 и .

Построение эп. на 1-м участке

Балку разрезаем в произвольном месте. Правую часть балки отбрасываем, левую часть оставляем. Точка K ₁ на оси балки, где провели сечение, закрепляется координатой z ₁, отсчитываемой от начала первого расчетного участка. Координата z ₁ изменяется в пределах первого расчетного участка слева направо. В начале участка она равна 0, в конце – длине расчетного участка.

Действие отброшенной части заменяем изгибающим моментом , прикладываемым к оставшейся части со стороны отброшенной. Как известно, при изгибе в вертикальной плос­кости изгибающий момент М_х считается положительным, если он растягивает нижние волокна балки. При изгибе в горизонтальной плоскости у балки нет нижних и верхних волокон для задания положительного направления изгибающего момента , а есть ближние и дальние к читателю волокна, считая относительно продольной оси. Таким образом, принимаем, что положительный момент растягивает ближние к читателю волокна оставшейся части балки (рис. 5.18). Индекс «1» означает номер расчётного участка.

Составляем уравнение равновесия для оставшейся части балки – уравнение моментов в горизонтальной плоскости относительно центра поперечного сечения K ₁:

å M_{K 1} = 0: z ₁ – = 0,

откуда = z ₁ = 0, 46 z ₁, 0 £ z ₁ £ 1, 3 м.

Изгибающий момент линейно зависит от координаты z ₁, следовательно, он представляет собой прямую, для построения графика которой необходимо и достаточно знать координаты двух её точек на границах расчётного участка.

На левом конце участка при z ₁ = 0: = 0 м.

На правом конце участка при z ₁ = 0, 7 м: = 0, 46 × 1, 3 = 0, 6 м (знак «+» указывает на то, что растянуты ближние к читателю волокна балки).

Строим эп. на 1-м расчетном участке, откладывая значения изгибающего момента со стороны растянутых волокон балки. Поскольку принято, что положительный изгибающий момент растягивает ближние к читателю волокна, то положительные значения изгибающего момента откладываются к читателю, считая от оси балки, а отрицательные – от читателя, считая от оси балки. Полученные две точки соединяем прямой. Каждая ордината на эп. , построенной от р = 1, измеряется в метрах.

Построение эп. на 2-м расчётном участке

Балку разрезаем в произвольном месте. Левую часть балки отбрасываем, правую часть оставляем. Точка K ₂ на оси балки, где провели сечение, закрепляется координатой z ₂, отсчитываемой от начала 2-го расчетного участка. Координата z ₂ изменяется в пределах 2-го расчетного участка справа налево. В начале участка она равна 0, в конце – длине расчетного участка.

Действие отброшенной части заменяем изгибающим моментом , прикладываемым к оставшейся части со стороны отбро­шенной. Положительный момент растя­гивает ближние к читателю волокна остав­шейся части балки (рис. 5.19). Индекс «2» означает номер расчётного участка. Составляем уравнение равновесия для оставшейся части балки – уравнение моментов в горизонтальной плоскости относительно центра поперечного сечения K 2:   å MK 2 = 0: – z 2 = 0,   откуда = z 2 = 0, 54 z 2, 0 £ z 2 £ 1, 1 м.

Изгибающий момент линейно зависит от координаты z ₂, т. е. представляет собой прямую, следовательно, для построения эп. на
2-м участке необходимо определить координаты двух её точек – в начале и в конце расчётного участка.

На правом конце при z ₂ = 0: = 0 м.

На левом конце при z ₂ = 1, 1 м: = 0, 54 × 1, 1 = 0, 6 м (растянуты ближние к читателю волокна, с их стороны и откладываем ординату – см. рис. 5.20).

Рис. 5.20. Эпюра (м)

Перемножение единичных и грузовых эпюр для определения горизонтальной и вертикальной составляющей полного прогиба в точке С балки выполняем по правилу трапеций, поскольку перемножаемые расчетные участки единичных и грузовых эпюр линейны.

Вертикальный прогиб в точке С – D _y (рис. 5.21):

(2 × 0 × 0 + 2 × 5, 95 кНм × 0, 32 м + 0 × 0, 32 + 5, 95 × 0) +

+ (2 × 5, 95 кНм × 0, 32 м + 2 × 3, 85 кНм × 0, 6 м + 5, 95 кНм × 0, 6 м + 3, 85 кНм × 0, 32 м) +

+ (2 × 3, 85 кНм × 0, 6 м + 2 × 0 × 0 + 3, 85 × 0 + 0 × 0, 6) = .

Рис. 5.21. К определению вертикального прогиба в точке С путем перемножения эпюр по расчётным участкам

Горизонтальное смещение в точке С – D _х (рис. 5.22):

(2 × 0 × 0 + 2 × 5, 36 кНм × 0, 6 м + 0 × 0, 6 + 5, 36 × 0) +

+ (2 × 5, 36 кНм × 0, 6 м + 2 × 0 × 0 + 0 × 0, 6 + 5, 36 × 0) = .

Рис. 5.22. К определению горизонтального смещения в точке С путем перемножения эпюр по расчётным участкам

Окончательно например для балки с поперечным сечением в виде двутавра № 27 с J_x = 5010 см⁴ и J_y = 260 см⁴ и Е = 2, 1× 10⁵ МПа = 2, 1× 10⁴ кН/см², имеем:

Положительные величины перемещений в точке C указывают на то, что они произошли туда, куда направлены единичные силы, т. е. вниз и к читателю.

Полное перемещение балки в точке C определяем по формуле

0, 472 см.

Направление полного прогиба балки в сечении определяем по формуле

.

откуда q = 86, 96^о, ,

т. е. направление полного прогиба перпендикулярно нулевой линии и не совпадает с силовой плоскостью как при плоском изгибе. Это обстоятельство и послужило причиной происхождения понятия «косой изгиб». Угол q откладываем от оси у по тому же правилу, что и угол a (рис. 5.23).

Рис. 5.23. Определение направления полного прогиба.

Косой изгиб балки появляется, например, когда главная центральная ось сечения балки отклонена от вертикального положения, т. е. плоскости действия вертикальной внешней нагрузки (силовой плоскости). Это в свою очередь приведет к появлению горизонтального смещения балки, которое может привести к тому, что внешняя нагрузка (плита перекрытия, крановая нагрузка) провалится в перекрываемое между балками пространство.

ПЛАСТИЧЕСКИЙШАРНИР(шарнир текучести) - сечение балки, полностью находящейся в пластич. состоянии. Понятие " П. ш." приобрело большое значение в связи с исследованием несущей способности стержневых и рамных конструкций. П. ш. возникает в наиб. напряжённых сечениях; напр., если шарнпрно опёртая балка (рис.) находится под действием сосредоточенной силы Q, то при увеличении этой силы наибольший изгибающий момент возникает в точке, где образуется П. ш. Появление П. ш. уменьшает степень статич. непреодолимости конструкции и может сделать её статически определимой или даже геометрически изменяемой.

а - образование пластич. шарнира; б - сеченне балки в области пластич. шарнира А.

Круче́ ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

где:

— геометрический полярный момент инерции;

— длина стержня;

G — модуль сдвига.

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

аглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов - графическое отображение величины крутящих моментов на каждом участке бруса.

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечения. Так как равномерно вращающийся или неподвижный вал находится в равновесии, очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Следует очень внимательно отнестись к определению знаков крутящего момента. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар сил, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот (это положение условно и принимается для облегчения проверки расчетов, выполненных несколькими исполнителями).

Рассматривая величины крутящих моментов, действующих в каждом конкретном сечении бруса, полагаем, что в сечении, где приложен вращающий (скручивающий) момент, значения крутящего момента изменяются скачкообразно (принцип смягченных граничных условий).

***