Ошибка интерполяции

При интерполяции функции всегда получают ошибку состоящую из погрешности самого метода и ошибок округления.

Ошибка приближения функции интерполяционным полиномом n-й степени в точке xопределяется разностью.

(4.1)

Можно показать, что погрешность определяется следующим выражением.

(4.2)

Здесь – производная (n+1) порядка функции в некоторой точке, а функция определена как

(4.3)

Если максимальное значение производной равно,

(4.3)

то для погрешности интерполяции следует оценка.

(4.4)

Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рисунке 2.

Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка. За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.

Рисунок 2

Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат.

ПРИМЕР ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА

Для нахождения многочлена, принимающего в конкретных точках нужные значения, может использоваться пакет Mathcad. В качестве примера рассмотрим задачу на нахождение многочлена Лагранжа удовлетворяющего приведенным исходным данным (таблица 1):

Таблица 1

Построим многочлен Лагранжа в пакете Mathcad:

Введем исходные данные:

ORIGIN: =1

Далее вычисляем лагранжевы коэффициенты по формуле (2.2):

q

Таким образом лагранжевы коэффициенты:

Сам многочлен Лагранжа будет выглядеть так:

После упрощения имеем:

Рисунок 3

Построим многочлен Ньютона по неравностоящей сетке узлов (таблица 2):

Таблица 2:

И найдем приближенное значение интерполируемой функции y=f(x) при значении аргумента

Введем исходные данные:

ORIGIN: =1

Таким образом, матрица М содержит конечные разности.

Набирая числовые значения коэффициентов из полученной по этой матрице таблицы, по формуле 2.8, мы получаем аналитический вид многочлена.

Значения функции в требуемой точке вычисляется обращением к соответствующей подпрограмме:

Рисунок 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из рассмотренных методов интерполяции – наиболее простой метод интерполяции полиномом Лагранжа, однако у него есть недостатки:

¾ Степень многочлена определяется количеством узлов (минус 1), следовательно, любая попытка повысить точность аппроксимации путем увеличения количества узлов надо производить вычисления заново.

¾ Формула для расчета слишком громоздка.

При интерполяции методом Ньютона, при подключении новых узлов (для повышения точности интерполяции) безразлично в каком порядке их подключать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с. 11

2. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во " Мир". Москва. 1980

3. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во " Наукова думка". Киев. 1986.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Бином, 2004. – 634 с.

5. С.Д. Шапорев. Методы вычислительной математики и их приложения: учебное пособие / Балт.гос. техн.ун-т. «Военмех» Спб, 2002. 230 с.

6. Учебное пособие по курсу " Численные методы в оптике" [Электронный ресурс] https://aco.ifmo.ru/el_books/numerical_methods/lectures/glava3.html (Дата обращения 08.02.2016)

7. Лекции по численным методам. [Электронный ресурс] https://nickolay.info/study/methods/03.html#kpi (Дата обращения 11.02.2016)

8. Бедарев И.А., Белоусова О.Н., Федорова Н.Н – Численные методы решения инженерных задач в пакете Mathcad: учебное пособие [Электронный ресурс] https://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/299/63299/33428? p (Дата обращения 11.02.2016)

9. Постановка задачи. Кусочно-линейная интерполяция. [Электронный ресурс] https://e-lib.gasu.ru/eposobia/metody/R_3_1.html (Дата обращения 12.02.2016)

10. Ануфриев Игорь Евгеньевич. [Электронный ресурс] Вычисления и приближение данных в MATLAB https://matlab.exponenta.ru/spline/book1/10.php (Дата обращения 12.02.2016)