Задача интерполяции

РУКОВОДИТЕЛЬ

Аникин В.В.

Фамилия И.О. Подпись

Оценка

«13» 04.2016

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2016г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ.. 3

2. ГЛОБАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.. 5

2.1. Интерполяция полиномом Лагранжа. 5

2.2. Многочлен Ньютона. 7

3. ЛОКАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.. 8

3.1. Кусочно-линейная интерполяция. 8

3.2. Интерполяция сплайнами. 9

4. ОШИБКА ИНТЕРПОЛЯЦИИ.. 10

5. ПРИМЕР ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА 11

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 15

7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 16

ВВЕДЕНИЕ

Интерполяция - это определение промежуточных значений функции по известному дискретному набору значений функции.

Этот способ применяется во многих сферах жизни человека, в частности, в научных и инженерных расчетах, где часто приходится оперировать наборами значений с функциями заданными таблично, полученных опытным путём (при условии, что мы не учитываем различные посторонние шумы при снятии показаний приборов) или методом случайной выборки.

На основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. В итоге можно сказать, что интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Интерполяционные методы применяются во многих сферах жизни человека, в частности, в научных и инженерных расчетах, где часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путем, не учитывая различны шумы, или методом случайной выборки.

ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Пусть функция задана таблицей своих значений на интервале [ :

, ,

(1.1)

где n - количество узлов.

Задача интерполяции - найти функцию , принимающую в точках те же значения .

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых. Точки называют узлами интерполяции. Узлы интерполяции не обязательно должны располагаться равномерно на отрезке [ .

Функция называется интерполянтом функции .

Если значение ищется на интервале [ , то эту задачу принято называть задачей интерполяции, а если за пределами этого интервала, то это задачей экстраполяции.

Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки, i=0, 1,..., n, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия (1.2).

В зависимости от цели приближения используют либо интерполяцию (точечную аппроксимацию), либо аппроксимацию. Аппроксимация – это замена таблично заданной функции функцией , которая на рассматриваемом отрезке имеет ограниченное отклонение от функции .

Условие интерполяции:

(1.2)

Где а – вектор неизвестных коэффициентов.

Обычно вид известен заранее. Чтобы решить задачу интерполяции необходим коэффициент .

Решить задачу интерполяции - значит найти при заданных и .

В общем виде система представляет систему нелинейных уравнений и при больших n часто не имеет решений.

Первым методом решений задачи интерполяции является метод Лагранжа.

Простейшим и наиболее часто применяемым функцией является полином:

(1.3)

где , , , …, – коэффициент полинома,

m – степень аппроксимирующего многочлена.

Интерполирование состоит в приближённой замене функции , заданной таблично, функцией , которая принимает те же значения, что и функция .

Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [ . Методы глобальной интерполяции обычно применяют для функций, заданных небольшим количеством точек, т. к. при увеличении количества точек увеличивается порядок интерполирующего многочлена, что отрицательно сказывается на гладкости получаемой функции. Многочленная аппроксимация, использующая сразу все узлы таблицы (глобальная интерполяция) имеет существенный недостаток – возможность появления больших экстремумов в промежутках между узлами сетки. Т.е. интерполяционный полином может иметь колебания, не свойственные исходным данным. Кроме того, с ростом степени полинома происходит быстрое накопление ошибок округления. Чтобы избежать этих нежелательных эффектов, на практике применяют локальную интерполяцию.. В случае локальной интерполяции на каждом интервале [ ] строится отдельный полином. Для локальной интерполяции количество узлов большого значения не имеет.

Рассмотрим некоторые виды локальной и глобальной интерполяции.

Локальная интерполяция:

1. Кусочно-линейная интерполяция

2. Интерполяция сплайнами

Глобальная интерполяция:

1. Полином Лагранжа

2. Многочлен Ньютона