Решение. Найдем частные производные функции z = f (x, y) = 3y – x2y + x:

Найдем частные производные функции z = f (x, y) = 3 y – x ² y + x:

(x, y) = (3 y – x ² y + x) =2xy+1;

(x, y) = (3 y – x ² y + x) = .

Точка М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z ₀, подставив заданные x ₀ = 1 и y ₀ = 5 в уравнение поверхности:

z = 3 y – x ² y + x z ₀ = 15-5+1 = 11.

В точке М ₀(1, 5, 11) значения частных производных:

(М ₀) = 10+1= 11; (М ₀) = 3-1 = 2.

получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М ₀:

z – 1= 11(x -1) +2(y – 5) z – 1= 11 x – 11+ 2 y -10 -11 x -2 y + z + 20 = 0.

Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М ₀: = = .

Ответы: уравнение касательной плоскости: 15 x -11 x -2 y + z + 20 = 0; уравнения нормали: = = .

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x ² + 3 y ²

, точка M ₀(1, 1) и вектор = 3 – 4 . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля;

2) найти градиент поля в точке M ₀ и производную в точке M ₀по направлению вектора;

3) построить в системе координат XОY 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M ₀, изобразить вектор на этом чертеже.

1) Для U поле U = x ² + 3 y ² уравнение семейства линий уровня имеет вид

поле U = x ² + 3 y ² = С, где С > 0. Это семейство эллипсов.

2) Найдем частные производные функции U = = x ² + 3 y ²: = (x ² + 3 y ² ) = 2 x, = (x ² + 3 y ²) = 6y. В точке М ₀(1, 1) значения частных производных: , .

находим градиент поля в точке M ₀:

Прежде, чем найти производную по направлению вектора ={3; – 4}, вычислим его модуль и направляющие косинусы:

, .

Производную поля по направлению вектора в точке М ₀ вычисляем по формуле: .

3)Для построения линий уровня в системе координат XОY подставим в уравнение семейства линий уровня: x ² + 3 y ² = С различные значения С:

при С ₁ = 1 получим x ² + 3 y ² = 1, при С ₂ = 2 получим x ² + 3 y ² = 2,

при С ₃ = 3 получим x ² + 3 y ² = 3, при С ₄ = 5 получим x ² + 3 y ² = 5, и т.д.

Получим уравнение линии уровня, проходящей через точку М ₀(1, 1). Для этого подставим подставив x ₀ = 1, y ₀ = 1 в уравнение x ² + 3 y ² = С и найдем значение С: C=4; x ² + 3 y ² = 5– уравнение линии уровня, проходящей через точку М ₀.

Построим эти линии в системе координат XОY (рис. 2).

отложим вектор от точки M ₀

Рисунок 2

Ответы:

1) x ² + 3 y ² = С;

2)

;

3) линии уровня и на рисунке 2.

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где и точка

Требуется:

1) представить в виде , разделив ее вещественную и мнимую части;

2) проверить, является ли функция w аналитической;

3) в случае аналитичности функции w найти ее производную в точке z ₀.