Шар и сфера.

I. Шар и сфера. Основные понятия.

Определение. Шар – геометрическая фигура, полученная вращением круга (полукруга) вокруг его диаметра. Другими словами: шаром называется множество точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного (R - радиус шара) от данной точки (центра шара).

Определение. Сфера – геометрическая фигура, полученная вращением окружности (полуокружности) вокруг её диаметра. Другими словами: сферой называется множество точек пространства, удалённых от данной точки (центра сферы) на данное расстояние R (радиус сферы).

II. Объём и площадь поверхности шара.

Шар

862. Объясните, как изменится площадь сферы, если её радиус:

а) увеличится в 10 раз;

б) уменьшится вдвое.

863. Укажите, во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 2 раза; в 3 раза.

864. Объём шара увеличили в 8 раз. Укажите, как изменилась площадь ограничивающей его сферы.

865. Известно, что объём одного шара в 125 раз больше объёма другого шара. Найдите отношение радиусов этих шаров.

866. Объясните, верно ли, что объём шара радиуса 2 см больше 33 см³.

867. Радиус сферы равен 2 см. Укажите, больше или меньше 49 см² её площадь.

868. Радиус Земли будем считать равным 6 тыс. км. Определите площадь земной поверхности.

869. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луна и Земли, считая их шарами.

870. Вода покрывает приблизительно земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.)

871. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

872. Найдите площадь поверхности полушара радиуса 1см.

873. Металлический цилиндр, осевое сечение которого квадрат со стороной 1, переплавили в шар. Укажите, какая у этого шара площадь поверхности.

874. Радиусы двух чугунных шаров 10 см и 5 см. Эти шары перелили в один шар. Определите его радиус.

875. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

876. В цилиндрическую мензурку диаметром 2, 5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько см изменится уровень воды в мензурке?

877. Диаметры трёх шаров составляют 6 см, 8 см и 10 см. Найдите диаметр шара, объём которого равен сумме объёмов этих шаров.

878. Объём шара равен . Найдите:

а) площадь его сферы;

б) объём цилиндра, имеющего такую же площадь поверхности и такого, что его осевое сечение квадрат;

в) объём куба, имеющего такую же площадь поверхности.

Сравните объёмы шара, цилиндра и куба.

879. Ответьте, могут ли объём шара и площадь его сферы одновременно выражаться рациональными числами.

880. Цилиндр вписан в шар. Радиус шара 5, образующая цилиндра 6. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

881. Шар вписан в куб. Ребро куба равно 1. Найдите объём шара.

882. Ребро куба равно а. Найдите радиусы вписанного в куб и описанного около него шаров.

883. Шар вписан в цилиндр. Радиус шара 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

884. Шар вписан в конус. Радиус основания конуса 8, образующая 10. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

885. Конус вписан в шар. Радиус шара 6, радиус основания конуса 5. Найдите отношение объёмов конуса и шара.

886. Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара. H = , где Н – высота цилиндра, R – радиус шара.

887. Найдите отношение объёмов вписанного в куб и описанного около куба шаров.

888. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Найдите радиус описанной около параллелепипеда сферы.

889. Высота правильной шестиугольной призмы равна 8 см, диагональ боковой грани – 13 см. Найдите радиус описанного около призмы шара.

890. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а другая описана относительно равностороннего цилиндра.

891. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а другая описана относительно равностороннего конуса.

892. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а вторая описана относительно правильного тетраэдра (правильного четырёхгранника).

893. Найдите отношение объёмов цилиндра, шара и конуса, если диаметры оснований цилиндра, конуса и их высоты равны диаметру шара.

§ 1. Векторы.

I. Векторы. Основные понятия. Правила действия с векторами.

Основные понятия, связанные с векторами, в стереометрии те же, что и в планиметрии.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, т.е. вектор однозначно определяется направлением и длиной.

Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор.

Определение. Длиной вектора называется расстояние от начала вектора до его конца

Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

Теорема. Если векторы и коллинеарны и вектор – ненулевой, то существует число k такое, что .

Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Определение. Векторы называются взаимно перпендикулярными (ортогональными), если угол между ними равен 90°.

К известным правилам сложения векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника (или ломаной)) в пространстве добавляется правило параллелепипеда: .

Правила сложения векторов:

① ;

② ;

③ .

Вычитание векторов .

Правила умножения вектора на число:

① β · (λ · ) = (β · λ) · ;

② 1 · = ;

③ -1 · = ;

④ (β + λ)· = β · + λ · ;

⑤ λ · ( ) = λ · + λ · .

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

; числа x, y называют коэффициентами разложения.

II. Компланарные векторы.

Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости. Другими словами, векторы компланарны, если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости.

Очевидно, что любые два вектора компланарны; три вектора, два из которых коллинеарны, также компланарны.

Векторы , и компланарны. Векторы , и не компланарны.

A C B B1 C1 A1

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

.