Геометрическая интерпретация задачи параметрического программирования

Геометрическая интерпретация такой задачи может быть представлена следующим образом.

Положим t = α и ограничимся только двумя переменными x₁ и x₂. В этом случае получаем стандартную задачу ЛП (рисунок 17.1). Решение этой задачи – точка в вершине А многогранника решений.

Рисунок 17.1 – Геометрическая интерпретация задачи

Если теперь изменить значение t (t₁ = α ₁), то это будет математически соответствовать изменениям коэффициентов целевой функции, а геометрически – повороту вектора градиента этой функции на некоторый угол (на рисунке 17.1 – переход от прямой Z_α к прямой Z_{α 1} ). В этом случае происходит и изменение решения задачи. Теперь оно будет находиться в вершине многогранника решений А₁ .

Естественно предположить, что при некотором t₂ < α ₁, решение будет находиться в обоих точках А и А₁, а следовательно и в любой точке отрезка, соединяющего эти точки (прямая соответствующая целевой функции параллельна стороне многогранника А-А₁.).

Фиксированное значение t₁ является граничной точкой между двумя соседними интервалами отрезка [ab].

Такой подход позволяет решить задачу параметрического программирования с двумя переменными графическим методом.

Пример 17.1. Задана целевая функция вида

, (17.3)

где (17.4)

Система ограничений неравенств имеет вид

2х₁ – 5х₂ ≤ 10, (17.5)

х₁ + х₂ ≥ 5,

-х₁ – х₂ ≤ 4,

4х₁ + 5х₂ ≤ 40.

х₁, х₂ ≥ 0.