Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тема 1. Системы линейных уравнений.




Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Решение. Метод Жордана-Гаусса - метод полного исключения неизвестных Систему можно решить, используя разные формы записи, например, в виде расширенной матрицы системы или в таблице Гаусса. Составим таблицу Гаусса. На первом шаге в качестве разрешающего (ведущего) элемента можно выбрать любой коэффициент , например, an=1. Тогда первое уравнение (строка) разрешающее. На каждом шаге разрешающее уравнение делится на разрешающий элемент. Исключим соответствующую переменную x1из всех остальных уравнений путем элементарных преобразований. На каждом следующем шаге выбираем разрешающий элемент в уравнении, которое еще не было в качестве разрешающего. На втором шаге выберем разрешающий элемент а23=1. Исключим переменную х3из всех уравнений, кроме разрешающего (второго). Аналогично делаем еще два шага, исключая x2и x4(разрешающие элементы указаны в таблице).

 

№№ интерации x1 x2 x3 x4 b
Исходная 1 -2 -1
система
 
  -1 -1
  -2
I 1
 
  -4
  -7 -4 -12
II
  3
 
  -1/3 4/3
III
  5/3 10/3
  -5
 
IV
 
  -1

Таким образом, систему уравнений привели к виду:

Система определена и имеет единственное решение: x=(1, -1, 2, 5).

Замечание. Случаи несовместной и неопределенной систем уравнений будет рассмотрен ниже при решении методом модифицированных жордановых исключений.

Задача 2. Решить систему уравнений методом модифицированных жордановых исключений (м.ж.и.).

Решение. Преобразуем систему к виду, удобному для применения м.ж.и.:

Запишем систему уравнений в виде таблицы:

 

С Б ­ -x1   -x2   -x3   -x4  
1 -1
-4 -3
-5

Проведем преобразования методом м.ж.и. указывая на каждом шаге разрешающий элемент (любой, отличный от нуля элемент основной части таблицы, т.е. кроме столба свободных членов). Переход от одной таблицы к другой, т.е. один шаг м.ж.и., проводится по правилам:



1. Разрешающий элемент apqзаменяется обратной величиной: .

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент: .

3. Остальные элементы разрешающего столба делятся на разрешающий элемент и меняют знаки: .

4. Все остальные элементы таблицы вычисляются по формулам (правило прямоугольника): .

В результате одного шага м.ж.и. один нуль (в р-ой) строке переходит на верх таблицы, а на его место - соответствующая неизвестная (в q-ом столбе). Цель - перебросить все нули на верх таблицы.

Выберем разрешающий элемент 1. Следовательно, поменяются местами первый нуль и переменная х1. Элементы новой таблицы посчитаем по четырем правилам м.ж.и. Например, вычислим элемент . Для элемента построим прямоугольник:

 -1

 

2 -3

Столбы под переброшенными на верх нулями (разрешающие) будем опускать за ненадобностью, т.к. для нахождения неизвестных они должны быть умножены на нули. Проделаем возможное число шагов.

 

С Б   -x2   -x3 ­ -x4  
x1 -1
-8 -2 -1
-8 -2 -1 -4

 

С Б   -x2   -x3  
x1
x4
-4

В последней таблице все коэффициенты в третьей строке равны нулю, поэтому перебросить оставшийся нуль на верх таблицы нельзя. Так как свободный член в этой строке отличен от нуля (соответствующее уравнение: 0=0×(-х2)+0×(-х3) -4 Þ 0=-4), то система несовместна.



Указание. Проследить как преобразуется система уравнений за один шаг м.ж.и., для этого записать систему уравнений, соответствующие полученным таблицам. Сравнить с методом Жордана-Гаусса.

Задача 3. Найти все базисные решения системы уравнений:

Решение. Приведем систему к единичному базису; проделав возможное число шагов методом Жордана-Гаусса или жордановых исключений. Проведем преобразования методом м.ж.и. Запишем систему в виде таблицы и сделаем два шага.

С Б ­         С Б         С Б ­
1 -2   -2   -1 1/5
-3   5 -5 -2   -1 -2/5
Таблица №1   Таблица №2   Таблица №3

 

В таблице №3 система приведена к единичному базису, т.к. переменные х1, х2входят только в одно уравнение системы с единичными коэффициентами. Переменные х1, х2-базисные (основные), х3- свободная (неосновная) переменная. Переменные х1и х2составляют один из базисов системы переменных х1, х2. Покажем, на данном примере, как записывается общее решение системы. Запишем систему, соответствующую таблице 3: .

В данном случае число уравнений в системе, приведенной к единичному базису, r=2 (ранг системы уравнений), число переменных n=3; r<n, следовательно, система неопределенная. Получим общее решение, положив свободную переменную равной произвольному действительному числу, обозначив его через t: или другая форма записи: , где tÎR. Система имеет бесконечное множество решений. Из этого множества выделим так называемые базисные решения. При нулевом значении свободной переменной х3( ) получаем одно из базисных решений: (это решение можно выписать из таблицы). Всего базисных решений может быть не более ,т.е. .

Другими базисами могут быть следующие группы переменных x1, x3; x2, x3(см. замечание). Взяв в таблице 3 разрешающим элементом а21= -1. Перейдем от базиса х1, х2к базису х1, х3(таблица 4). Полагая свободную переменную х2равной нулю (х2=0), получим еще одно решение: .

C Б ­           С Б
-1 3/5         -1 -3/5
-1 2/5         -1 -1/5
Таблица № 4         Таблица № 5

Выбрав в таблице №4 разрешающий элемент (или в таблице №3 ), перейдем к базису (таблица №5). При получим еще одно базисное решение : . Итак, данная система имеет три базисных решения: , , .

Замечание. Нетрудно заметить, что группа переменных составить базис не может, если при переходе к этому базису элемент, стоящий на пересечении соответствующей строки и столбца, равен нулю.

Задача 4. Решить матричным способом систему уравнений:

Решение. Введем в рассмотрение матрицы:

, , , где – матрица коэффициентов при переменных, а и – матрицы-столбы переменных и свободных членов. Тогда систему можно записать в матричной форме .

Найдем определитель матрицы : , т.е. матрица несобственная (невырожденная) и для матрицы существует матрица обратная. Тогда решение матричного уравнения существует и представимо в виде .

Найдем . Обратную матрицу можно найти путем элементарных преобразований или по формуле: , где -матрица, присоединенная к матрице . Вычислим ее по формуле , где - алгебраические дополнения к элементам матрицы .

.

Рекомендуем проверить правильность нахождения обратной матрицы, исходя из ее определения, т.е. найти или и убедиться в том, что получится матрица единичная.

Следовательно, .

Система определена, имеет единственное решение: .


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал