Теоретические сведения. §1. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел.

§1. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел.

Закон Кулона: сила F взаимодействия двух точечных зарядов про­порциональна произведению этих зарядов q₁ и q₂, обратно пропор­циональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль линии соединяющей эти заряды:

,

где ε — диэлектрическая проницаемость среды (показывает, во сколь­ко раз сила взаимодействия двух зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме), ε _о — электрическая постоянная, .

Следует подчеркнуть, что формула верна только для точечных зарядов. В случае использования реальных тел, области в которых разделены заряды разбиваются на малые элементы, сила взаимодействия между которыми может быть рассчитана по закону Кулона.

Закон сохранения зарядов. В любой замкнутой системе заряженных тел алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:

q₁+q₂+…+q_n=const,

где n — число заряженных тел в системе.

Возможно лишь перераспределение заряда между телами замкнутой системы.

§ 2. Напряженность и индукция электрического поля. Поток напряженности и индукции.Сила, действующая на заряд в электрическом поле. Циркуляция напряженности.

1. Напряженность электрического поля есть величина, равная отношению силы

, действующей на положительный пробный заряд q помещенный в данную точку поля, к этому заряду

Напряженность поля численно равна силе, действующей на еди­ничный точечный положительный заряд, помещенный в данную точку.

2. Сила действующая на точечный заряд q, помещенный в электри­ческое поле,

выражается формулой

3. Для графического изображения поля вводится понятие силовой линии, т. е.

линии, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности поля. Условно принято силовые линии проводить с такой густотой, чтобы число силовых линий пронизывающих единицу площади нормальной к силовым линиям, равнялось напряженности поля. При таком условии число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку dS, выражается формулой:

dN = E cos α dS = E_n dS,

где α — угол, образуемый силовой линией с нормалью к площадке, E_n — проекция вектора напряженности Е на нормаль к плоскости S.

Интегрируя это выражение по всей поверхности S, получим число силовых линий N пронизывающих всю поверхность:

4. Потоком вектора напряженности Е через поверхность S называется выражение

В случае замкнутой поверхности

где интегрирование ведется по всей замкнутой поверхности.

5. Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности N_Е через

любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q₁, q₂,..., q _n равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности:

6. Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на

расстоянии r от заряда, выражается формулой:

Напряженность электрического поля, создаваемого металличе­ской заряженной сферой радиуса R на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r< R), q=0, следовательно, E =0;

б) на поверхности сферы (r=R) E = ,

в) вне сферы (r > R) E = , где q — заряд сферы.

7. Если электрическое поле создано двумя и более точечными зарядами, то для

нахождения напряженности поля и других его характеристик следует использовать принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность результирующего поля равна векторной (геометрической) сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами:

= ₁+ ₂+...+ _n

В случае двух электрических полей с напряжённостями E₁ и E₂ абсолютное значение вектора напряженности суперпозиции полей в некоторой точке

где α — угол между векторами ₁ и ₂.

8. Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равно­мерно заряженной

нитью на расстоянии r от ее оси,

где τ — линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити (цилиндра):

9. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной

плоскостью E=

где — поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади:

Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по абсолютной величине поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора)

E = ,

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Напряженность поля создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью

, ()

()

Существуют среды, для которых индукция электрического поля связана с напряженностью электрического поля соотношением

10. Поток вектора электрической индукции выражается аналогично потоку вектора

электрической напряженности:

N_D=

где D_n— проекция вектора на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна dS.

11. Теорема Остроградского — Гаусса для вектора индукции. Поток N_D вектора

индукции через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q₁, q₂,..., q_n:

где n — число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.

12. Циркуляция вектора напряженности электрического поля от одной точки до

другой точки этого поля есть физическая величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль некоторой линии соединяющий эти точки:

= ,

где E_l — проекция вектора напряженности на направление касательной к линии .

Электростатическое поле потенциально. Для таких полей циркуляция вектора поля не зависит от пути интегрирования, а циркуляция вектора напряжённости по замкнутому контуру равна нулю:

13. Связь между поляризованностью и напряженностью электрического поля

, ,

§ 3. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле.

Потенциал φ электрического поля есть физическая величина, равная потенциальной энергии единичного точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

φ ,

или потенциал φ электрического поля - есть физическая величина, численно равная работе сил поля по перемещению единичного точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность:

φ

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Следует отметить, что при перемещении заряда в электрическом по­ле работа внешних сил равна по абсолютной величине работе сил поля и противоположна ей по знаку:

А_{внеш. сил} = -А_{сил поля}

1. Потенциал φ электрического поля, создаваемого точечным за­рядом q на расстоянии r от заряда, выражается формулой

= .

Потенциал электрического поля, создаваемого помещенной в среду с диэлектрической проницаемостью металлической заряженной сферой радиуса R на расстоянии r от центра сферы(r R): = , где q — заряд сферы. Заполнение внутренней части сферы диэлектриком не изменяет потенциала поля вне сферы.

1. Если электрическое поле создано системой, состоящих из точечных зарядов, то

потенциал его φ в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов φ ₁, φ ₂, …, φ _n создаваемых отдельными точечными зарядами q₁, q₂, …, q_n:

φ φ _i

1. Энергия взаимодействия W системы точечных зарядов q₁, q₂, …, q_n определяется

работой, которую эта система зарядов может совершить, будучи представленной самой себе, и выражается формулой

φ _i,

где φ _i— потенциал поля, создаваемого всеми n — 1 зарядами (за ис­ключением i-гo) в точке, где расположен заряд q_i.

1. Потенциал связан с напряженностью электрического ноля соотношениями:

а) в общем случае

= -grad φ,

или

Производная берется вдоль направления нормали n к экви­потенциальной поверхности (т. е. вдоль касательной к силовой линии электрического поля);

б) в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по величине, так и по направлению,

где φ ₁ и φ ₂ — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхно­стей, d — расстояние между этими эквипотенциальными поверхностя­ми.

1. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из

одной точки поля, имеющей потенциал φ ₁ в другую, имеющую потенциал φ ₂,

A=q(φ ₁-φ ₂); ,

где E_l — проекция вектора напряженности Е на направление переме­щения, dl — величина перемещения. В случае однородного поля

A = qElcos ,

— угол между направлением векторов напряжённости поля и перемещения.

§ 4. Электроемкость. Конденсаторы.

1. Электроемкость уединенного проводника есть физическая вели­чина, численно

равная заряду, который необходимо сообщить провод­нику для того, чтобы

изменить его потенциал на единицу потенциала:

.

1. Электроемкость С уединенной металлической сферы радиуса R, находящейся в

бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε:

С = 4π ε ε _оR.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

3. Электроемкость С плоского конденсатора, площадь пластин (каждой пластины) которого S, а расстояние между ними d:

,

где ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

1. Электроемкость С последовательно соединенных n конденсаторов

.

При последовательном соединении двух конденсаторов

.

При последовательном соединении n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый .

1. Электроемкость n параллельно соединенных конденсаторов

С=С₁ + С₂+... + С_n.

При параллельном соединении двух конденсаторов

С=С₁ + С₂.

При параллельном соединении n одинаковых конденсаторов с электроемкостью C1

С=n С₁.

§ 5. Энергия заряженного проводника. Энергия электрического поля.

1. Энергия W заряженного проводника определяется величиной работы внешних сил, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить данный проводник

(или величиной работы, которую может совершить электрическое поле заряженного проводника при его разрядке).

Энергия W может быть выражена через заряд q проводника, потенциал его φ и электроемкость С следующими соотношениями:

,

,

1. Энергия заряженного конденсатора:

,

,

,

где С — емкость конденсатора, U — разность потенциалов на его пластинах.

Объемная плотность энергии электростатического поля

§ 6. Основные законы постоянного тока

1. Сила постоянного тока I есть скалярная физическая величина, численно равная количеству электричества, прошедшему через поперечное сечение проводника в единицу времени:

,

где q — количество электричества, прошедшее через поперечное сече­ние проводника за время t.

Плотность электрического тока есть вектор направленный по току, а его модуль числено равен силе тока приходящейся на единицу площади поперечного сечения проводника:

.

2. Закон Ома для участка цепи, не содержащей источников тока. Сила тока I в цепи, не содержащей источников тока, пропорциональна разности потенциалов φ ₁-φ ₂ на концах проводника и обратно пропорциональна сопротивлению r проводника:

.

Удельная проводимость связана с удельным сопротивлением соотношением .

Зависимость удельного сопротивления проводника от температуры выражается соотношением

ρ =ρ _о(1+α t),

где ρ _о— удельное сопротивление при О °С, ρ — удельное сопротивление при температуре t ° C, α — температурный коэффициент сопротивления.

Общее сопротивление R проводников, соединенных последовательно, равно сумме сопротивлений отдельных проводников: .

Общее сопротивление R проводников, соединенных параллельно определяется по формуле: .

Электродвижущая сила, действующая в цепи .

Закон Ома для замкнутого контура, содержащего э. д. с. (закон Ома для полной цепи): сила тока I в замкнутом контуре, содержащем э. д. с., прямо пропорциональна

э. д. с. источника тока и обратно пропорциональна сумме сопротивления R внешней части контура и внутреннего сопротивления r самого источника:

.

Закон Ома для участка цепи, содержащего э. д. с.,

,

Закон Ома в дифференциальной форме

1. Правила Кирхгофа

1). Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

Узлом называется точка, в которой сходятся несколько провод­ников. Токи, направленные к узлу, берутся со знаком «плюс», токи, направленные от узла, берутся со знаком «минус». Число уравнений, составляемых по первому правилу Кирхгофа при расчете цепей, на единицу меньше, чем число узлов.

2). В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений (т. е. произведений сил токов I_i на соответствующее сопротивление R_i) равна алгебраической сумме э. д. с., находящихся в этом контуре:

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение I_iR_i входит в уравнение со знаком «плюс», в противном случае произведение I_iR_i\ входит в уравнение со знаком «минус»;

б) если э. д. с. повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая э.д.с. входит в уравнение со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус».

1. Мощность тока

.

1. Закон Джоуля — Ленца. Работа электрического тока (тепловое действие тока)

.

где I — сила тока в проводнике, R — сопротивление проводника, U — напряжение на концах проводника, t — время прохождения тока.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

§ 7. Магнитное поле постоянного тока

1. Закон Био –Савара-Лапласа. Магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током

,

или

,

где μ _о— магнитная постоянная (μ _о =4π 10^-7 Гн/м), μ — магнитная проницаемость среды (для вакуума μ =l), - радиус-вектор.

2.Магнитная индукция связана с напряженностью магнит­ного поля соотношением μ _о μ , или в вакууме μ _о

1. Магнитная индукция в центре кругового проводника с током:

,

где R — радиус кривизны проводника.

4. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током:

,

где r — расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника на расстоянии r от него.

Обозначения ясны из рисунка. Вектор индукции перпендикулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется

магнитная индукция, cos φ ₂ = соs φ ₁= cos φ и, следовательно,

.

1. Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси):

= μ _о μ I,

где n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, I — сила тока в одном витке.

Магнитный момент рамки с током , где - единичная нормаль к плоскости рамки.

При наложении магнитных полей (в соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей) магнитная индукция результирующего поля равна векторной (геометрической) сумме магнитных индукций , складываемых полей:

В частном случае наложения двух полей:

= ₁+ _2,

а абсолютное значение вектора магнитной индукции:

,

где α — угол между векторами ₁ и .

6. Закон Ампера - сила, действующая на элемент тока , - индукция магнитного поля в месте нахождения элемента тока.

7. Магнитное поле свободно движущегося заряда .

8. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля )

§8. Сила, действующая на заряд, движущийся вмагнитном поле

Сила , действующая на заряд q движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией , выражается формулой (сила Лоренца)

, где α — угол, образованный вектором скорости движения частицы и вектором индукции магнитного поля.

§ 9. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность.

1. Работа перемещения замкнутого контура с током в магнитном поле определяется соотношением

где Δ Ф — изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром.

2. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея — Максвелла). Электродвижущая сила ε _i индукции, возникающая в замкнутом контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока со временем:

где N — число витков контура, — потокосцепление; если все витки катушки пронизываются одним и тем же потоком, то = NФ.

3. Разность потенциалов U на концах проводника длиной , движущегося в однородном магнитном поле с постоянной скоростью v, выражается формулой

U=Bl v sinα,

где α — угол между направлением вектора скорости и вектора магнитной индукции .

4. Электродвижущая сила индукции ε _i, возникающая в рамке, содержащей N витков площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью (в однородном магнитном поле с индукцией определяется уравнением

ε _i=BNSω sinω t,

где ω t — мгновенное значение угла между вектором и вектором нормали к плоскости рамки.

Электродвижущая сила самоиндукции ε _i, возникающая в зам­кнутом контуре при изменении силы тока в нем, пропорциональна скорости изменения силы тока :

,

где L - индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура.

1. Потокосцепление ψ пропорционально силе тока I, протекающего по контуру,

= LI,

где L — индуктивность контура.

6. Индуктивность L соленоида (тороида) пропорциональна квадрату числа витков на единицу длины соленоида и объему V соленоида

L= μ _o μ n²V.

Магнитная проницаемость μ сердечника соленоида (тороида) зависит от напряженности магнитного поля. Во всех случаях вычис­ления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости от , а затем формулой

.

1. Объемная плотность энергии магнитного поля

1. Намагниченность
2. Связь между векторами и ,
3. Теорема о циркуляции вектора

11. Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей сопротивлением r и индуктивностью L:

а) после замыкания цепи:

где ε — э. д. с. источника тока, t — время, прошедшее после замыка­ния цепи;

б) после размыкания цепи:

где I_о— значение силы тока в цепи при t=0, t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.