Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н₁ , Н₂, …, Н_n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на со ответ ствующую условную вероятность события А:

Р (А) =Р (Н₁) ∙ Р (А /Н₁) + Р (Н₂) ∙ Р (А /Н₂) + … + Р(Н_n) ∙ Р (А /Н_n) (*),

где Р (Н₁) + Р (Н₂) + … + Р(Н_n) = 1.

Равенство (**) называют формулой полной вероятности.

Задача 11. В каждой из двух урн содержится по 5 черных и 3 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны окажется черным.

Решение. Урна1 Урна2

Переложим 1 шар

Проанализируем условие задачи, если из урны 1 переложим белый или черный шар в урну 2 (см. схему).

Запишем условие задачи в схеме.

Урна №1

5(Б)	3(Ч)
8 шаров

Урна №2 Урна №2

Обозначим через А событие – извлеченный из второй урны шар окажется черным. Возможны следующие предположения (гипотезы):

Н₁ – из I урны вынут белый шар, Р (Н₁) = 5/8;

Н₂ -из I урны вынут черный шар, Р (Н₂ ) = 3/8 (P (Н₁)+ (Н₂)=1).

Условная вероятность того, что извлеченный из II урны шар черный при условии, что белый шар из I урны переложен во вторую, Р (А/Н₁) = 3/ 9.

Условная вероятность того, что извлеченный из II урны шар белый при условии, что черный шар из I урны переложен во вторую,

Р (А/Н₁) = 4/ 9.

Искомая вероятность того, что извлеченный из второй урны, шар окажется черным по формуле полной вероятности:

Р (А) =Р (Н₁) ∙ Р (А /Н₁) + Р (Н₂) ∙ Р (А /Н₂) = 5/8· 3/ 9 + 3/8· 4/9= =27/ 72= 3/8

Ответ: Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны окажется черным равна 3/8.