Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интерполяция по Лагранжу




Интерполяционный многочлен может быть построен при помощи специальных интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона, Стерлинга, Бесселя и др.

Интерполяционный многочлен по формуле Лагранжа имеет вид:

Докажем, что многочлен Лагранжа является интерполяционным многочленом, проходящим через все узловые точки, т.е. в узлах интерполирования xi выполняется условие Ln (xi ) = yi . Для этого будем последовательно подставлять значения координат узловых точек таблицы в многочлен (2.1). В результате получим:

если x=x0 , то Ln (x0 ) = y0 ,

если x=x1 , то Ln (x1 ) = y1 ,

……………

если x=xn , то Ln (xn ) = yn .

Это достигнуто за счет того, что в числителе каждой дроби при соответствующем значении уj , j=0,1,2,…,n отсутствует сомножитель (x-xi ), в котором i=j, а знаменатель каждой дроби получен заменой переменной х на соответствующее значение хj .

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа приближает заданную табличную функцию, т.е. Ln (xi ) = yi и мы можем использовать его в качестве вспомогательной функции для решения задач интерполирования, т.е. .

Чем больше узлов интерполирования на отрезке [x0 ,xn ] , тем точнее интерполяционный многочлен приближает заданную табличную функцию, т.е. тем точнее равенство:

 

Однако с увеличением числа узлов интерполирования возрастает степень интерполяционного многочлена n и в результате значительно возрастает объем вычислительной работы. Поэтому при большом числе узлов необходимо применять ЭВМ. В этом случае удобно находить значения функции в промежуточных точках, не получая многочлен в явном виде.

При решении задачи экстраполирования функции с помощью интерполяционного многочлена вычисление значения функции за пределами отрезка [x0 ,xn ] обычно производят не далее, чем на один шаг h, равный наименьшей величине

так как за пределами отрезка [x0 ,xn ] погрешности, как правило, увеличиваются.


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.01 сек.)Пожаловаться на материал