Раздел 1. Математика

1. Элементы теории множеств: множества, подмножества и элементы. Операции над множествами и их свойства. Доказательства основных формул теории множеств: (AÈ B)Ç C= (AÇ C) È (BÇ C); (AÈ B) È C= A È (BÈ C).

2. Отношения на множестве, способы их представления. Операции над бинарными отношениями. Декартово произведение множеств. Отношения эквивалентности. Фактор-множества. Отношения эквивалентности. Теорема Лагранжа.

3. Свойства и типы бинарных отношений: инъекция, сюръекция, отображение. Обратное отображение и биекция. Теорема об обратной функции.

4. Комбинаторные конфигурации: размещение, перестановки, сочетания, подстановки, группы подстановок. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Основное свойство биномиальных коэффициентов.

5. Основные операции над матрицами и их свойства. Определители. Теоремы о разложении определителя по i-ой строке и по j-му столбцу. Свойства определителей.

6. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Теорема о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя.

7. Алгоритмы доказательства тавтологий и равенств логических формул в исчислении высказываний: табличный алгоритм, алгоритм Куайна, алгоритм редукции, алгоритм свертки, метод резолюций.

8. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций. СДНФ и СКНФ. Понятие полноты системы логических операций. Примеры полных систем.

9. Понятие предиката. Кванторы существования и всеобщности. Язык исчисления предикатов первого порядка и его семантика. Отношение эквивалентности на формулах языка предикатов. Основные равенства с доказательствами.

10. Приведение формул исчисления предикатов к префиксной форме. Сколемизация формул. Доказательства методом резолюций в исчислении предикатов. Теорема Сколема.

11. Случайные события. Основные понятия алгебры событий. Классическая вероятностная схема. Свойства вероятности.

12. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и теорема Байеса.

13. Случайные величины и их виды. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства.

14. Функция распределения как универсальная характеристика случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

15. Основные законы распределения случайных величин: биномиальный, Пуассона, равномерный, нормальный.

16. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа с доказательствами.

17. Основные задачи математической статистики. Вариационные ряды и их характеристики. Средние величины, показатели вариации, эмпирическая функция распределения.

18. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности по выборке.