Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Ход работы

  1. Разбор тематических задач

 

Пример 1. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений 6-ти очков при одном бросании игральной кости.

Решение. Случайная величина Х – число выпадений 6-ти очков при одном бросании игральной кости. В результате испытания она может принять одно из двух возможных значений: х1 = 0 ; х2 = 1.

Вероятность выпадения 6-ти очков - 1/6, вероятность не выпадения – 5/6.

Случайная величина Х имеет следующий ряд распределения:

 

Х 0 1

Р 5/6 1/6

 

Пример 2. Монета бросается 5 раз. Составить закон распределения ДСВ Х – числа появлений герба.

Решение. ДСВ Х может принимать значения : 0, 1, 2, 3, 4, 5. Воспользуемся формулой Бернулли: вероятность появления герба в одном опыте р = ½, не появления q = ½, n = 5.

Имеем:

P5(X = 0) = C05 p0 q5-0 = 1* (1|2)0 * (1|2)5-0 = 1|32

P5(X = 1) = C15 p1 q5-1 = 5* (1|2)1 * (1|2)5-1 = 5|32

P5(X = 2) = C25 p2 q5-2 = 1* (1|2)2 * (1|2)5-2 = 10|32

P5(X = 3) = C35 p3 q5-3 = 1* (1|2)3 * (1|2)5-3 = 10|32

P5(X = 4) = C45 p4 q5-4 = 1* (1|2)4 * (1|2)5-4 = 5|32

P5(X = 5) = C55p5 q5-5 = 1* (1|2)5 * (1|2)5-5 = 1|32

 

Подставим полученные данные в таблицу распределения:

 

Х 0 1 2 3 4 5

Р 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32

 

Пример 3. В партии из 8-ми деталей 5 стандартных. Наудачу взяты 4 детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение. ДСВ Х- число стандартных деталей среди отобранных. Она может принимать возможные значения: х1 = 1 ; х2 = 2 ; х3 = 3 ; х4 = 4 ;

Определим вероятности этих возможных значений:

 

Р(Х = 1) = (C15 C33 ) / C48 = 1/14

 

Р(Х = 2) = (C25 C23 ) / C48 = 6/14

 

Р(Х = 3) = (C35 C13 ) / C48 = 6/14

 

Р(Х = 4) = (C45 C03 ) / C48 = 1/14

 

Искомый ряд распределения имеет вид:

 

Х 1 2 3 4

Р 1/14 6/14 6/14 1/14

 

Пример 4. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной законом распределения:

X -4 6 10

p 0,2 0,3 0,5

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:

M(X) = -4*0,2+6*0,3+10*0,5 = 6.

 

Пример 5. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y:

Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3;

Решение:

Используя свойства математического ожидания(математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим

М(Z) = M(X+2Y) = M(X)+M(2Y) = M(X)+2M(Y) = 5+2*3 = 11.



 

Пример 6. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1=-1, x2=0, x3=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=0,1, M(X2)=0,9. Найти вероятности p1, p2, p3, соответствующие возможным значениям х1, x2, x3.

Решение Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице, а также принимая во внимание, что M(X)=0,1, M(X2)=0,9, составим следующую систему трех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:

P1+P2+P3=1,

(-1)p1+0p2+1p3=0,1,

(-1)2p1+02 p2+12 p3=0,9.

Решив эту систему, найдем искомые вероятности: p1=0,4, p2=0,1, p3=0,5.

 

Пример 7 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х- числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Решение Воспользуемся формулой M(X)=n*P, где

n- общее число испытаний (бросаний пяти костей);

X- число появлений интересующего нас события(на двух костях из пяти появится по одному очку) в n испытаниях;

P- вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.

 

По условию, n=20. Остается найти P- вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления одного очка на грани одной кости p=1/6 и, следовательно, вероятность не появления q=1-1/6=5/6:

 

P=P5 (2)=C 25 (1/6)2 (5/6)3 = (54) /(3*64).

 

Искомое математическое ожидание

 

M(X)=n*P=20*(54) /(3*64) » 3

 

Пример 8 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X -5 2 3 4

P 0,4 0,3 0,1 0,2

Решение Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

D(X)=M(X2 )-[M(X)]2, которая быстрее ведет к цели.

Найдем математическое ожидание Х:

M(X)= -5*0,4+2*0,3+3*0,1+4*0,2= -0,3.

Напишем закон распределения Х2:

X2 25 4 9 16

P 0,4 0,3 0,1 0,2

Найдем математическое ожидание Х2:



M(X2 )=25*0,4+4*0,3+9*0,1+16*0,2=15,3.

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X2 )-[M(X)]2=15,3 - (0,32)=15,21.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

s(X)= ÖD(X)= Ö15,21=3,9.

 

Пример 9Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3*X+2*Y, если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.

 

Решение Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3*X и 2*Y. Используя свойства дисперсии(дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим

D(Z)=D(3*X+2*Y)=D(3*X)+D(2*Y)=9*D(X)+4*D(Y)=9*5+4*6=69.

Пример 10 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа появлений события А в пяти не зависимых испытаниях, если вероятности появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Решение Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события:

D(X)=n*p*q.

По условию, n=5; p=0,2 ; q=1-0,2=0,8.

Искомая дисперсия

D(X) =n*p*q=5*0,2*0,8=0,8.

Пример 11 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа появлений события А в двух независымых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=1,2.

Решение

Воспользуемся формулой M(X)=n*p.

По условию, M(X)=1,2; n=2. Следовательно, 1,2=2p. Отсюда p=0,6 и, значит, q=0,4.

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=npq=2*0,6*0,4=0,48.

Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели.

 

 

2. Задачи для самостоятельного решения

 

1) Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Ответ: Х 0 1 2 3

Р 0,729 0,243 0,027 0,001

 

2) Игра состоит в набрасывании колец на колышки. Игрок получает четыре кольца и бросает по одному из этих колец до первого попадания на колышек. Вероятность попадания при каждом бросании равна 0,1. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа неизрасходованных игроком колец.

Ответ: Х 0 1 2 3

Р 0,729 0,081 0,09 0,1

3) Фермер содержит 15 коров, 5 из которых дают удои более, чем по 4 500 л молока в год. Случайным образом отобрано 3 коровы. Найти закон распределения случайной величины Х – числа коров, дающих высокие удои среди отобранных.

Ответ: Х 0 1 2 3

Р 24/91 45/91 20/91 2/91

 

4) Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х 0,21 0,54 0,61

p 0,1 0,5 0,4

Ответ: М(Х) = 0,535

5) Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y:

а)Z=3X+4Y,

б)Z=X-4

в)Z=2-2Y если M(X)=2, M(Y)=6.

Ответ: M(Z) = 30, M(Z) = 2, M(Z) = -10

6) Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: x1=4 с вероятностью p1= 0,5; x2=6 с вероятностью p2=0,3 и х3 с вероятностью p3. Найти х3 и p3, зная, что М(Х)=8.

Ответ: x3 = 21; p3 = 0,2

7) Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1=1, x2=2, x3=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=2,3, M(X2 )=5,9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Ответ: p1 = 0,2; p2 = 0,3; p3 = 0,5

8) Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Ответ: 12,25

9) Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Ответ: 6 билетов.

10) Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины

А) Z=X+3Y,

Б) Z= Y-2X

В) Z= X - 4 если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.

Ответ: D(Z)=59, D(Z)=26, D(X)=5

 

11) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

а) X 4,3 5,1 10,6

p 0,2 0,3 0,5 ; .

Ответ: D(X)≈248,95, σ(X)≈15,78.

12) Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Ответ: D(X)=0,9

13) Бросают 12 игральных костей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Ответ: M(X)=42, D(X)=35, σ(X)=5,92.

 

3. Форма отчета

1.Прорешать представленные задачи в тетради

2.Оценить свою работу по следующей схеме:

6 задач – 3 балла

8 задач - 4 балла

10 задач – 5 баллов

 

 

4. Задание на внеаудиторную самостоятельную работу

1. Решить следующие задачи:

1) Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым – 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины Х – числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками. (т. е. ограничится возможными значениями Х, равными 1, 2, 3, 4)

Ответ: Х 1 2 3 4

Р 0,7 0,24 0,042 0,0144

 

2) В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных

Ответ: Х 0 1 2

Р 1/45 16/45 28/45

 

3) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа патронов выданных стрелку.

 

Ответ: Х 1 2 3 . . . k . . .

Р 0,2 0,16 0,128 . . . 0,8k-10,2 . . .

4) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X 131 140 160 18

p 0,05 0,10 0,25 0,60.

Ответ: D(X)≈248,95, σ(X)≈15,78.

5) Найти дисперсию дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в двух не зависимых испытаниях, , если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=0,9.

Ответ: D(X)=0,495

6) Дискретная случайнвя величина Х имеет только два возможных значения: x1 и х2, причем х2>x1. Вероятность того, что Х примет значение х1, равна 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,6; D(X)=0,24.

Ответ :x1=1; x2=2.

 

2. Ответить на контрольные вопросы

 

Контрольные вопросы.

1. Классическая формула вероятности

2. Правило произведения в комбинаторике

3. Правило суммы в комбинаторике

4. Размещения без повторений и с повторениям из n элементов по k

5. Сочетания без повторений и с повторениями из n элементов по k

6. Перестановки из n элементов без повторений и с повторениями

 

Литература

Основные источники:

  1. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и мат. статистика». Изд-во Высшая школа, г.Москва, 2011г.
  2. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и мат. статистике». Изд-во Высшая школа, г.Москва, 2011г.
  3. Г.В. Горелова, И.А. Кацко « Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: учебное пособие для вузов(Изд. 3-е, доп. И перераб.) / Серия «Высшее образование» ; Ростов н/Д:Феникс, 2009.

 

Дополнительные источники:

  1. Г.Л. Громыко «Общая теория статистики, практикум». Изд-во Инфра-М, г. Москва, 2010г.
  2. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин «Математическая статистика», Высшая школа, 2012 г.

Интернет-ресурсы:

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki
  2. http://mirknig.com/knigi/business/1181147887-teorija-verojatnostejj-i.html

 

<== предыдущаЯ лекциЯ | следующаЯ лекциЯ ==>
Ход работы. 1. Разобрать примеры и записать в тетрадь | Мышцы ног и ягодичные мышцы

mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2017 год. (0.1 сек.)