Приборы и принадлежности

Крутильный маятник, устройство для отсчета периода, числа колебаний и времени; шарик известной массы, металлический параллелепипед известных размеров.

Краткая теория

1. Тензор и эллипсоид инерции твердых тел. В динамике вращательного движения твердого тела мерой инертности служит физическая величина, называемая моментом инерции тела; при переходе от уравнений динамики материальной точки к уравнениям динамики вращательного движения тела ускорение заменяется угловым ускорением , сила - моментом силы , масса тела (m) - моментом инерции I, 2-ой закон Ньютона – основным уравнением динамики вращательного движения

. (1)

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси вычисляется по формуле:

(2)

где r₁ – расстояние элемента массы dm объемом V до оси вращения, а интегрирование ведется по объему всего тела, r - плотность материала тела.

У тела любой формы и с произвольным распределением массы существует три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые являются свободными осями; они называются главными осями инерции тела. У однородного параллелепипеда (рис. 1) главными осями инерции будут оси О₁О₁, О₂О₂ и О₃О₃, проходящие через центры противоположных граней.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела. В общем случае эти моменты различны

.

Рис. 1

Момент инерции относительно произвольной оси ОА

. (3)

Если - единичный вектор вдоль оси ОА, то

; (4)

; (5)

; (6)

.. .. (7)

Величины I_xx, I_yy, I_zz имеют смысл моментов инерции тела, относительно координатных осей x, y, z соответственно.

Совокупность девяти величин

называют тензором инерции относительно точки О, а сами эти величины – компонентами этого тензора.

Введем обозначения x = x₁, y = x₂, z = x₃, тогда компоненты тензора инерции будут обозначаться I₁₁, I₂₂……I₁₃, направляющие S₁, S₂, S₃.

Можно записать I_ij = I_ji, ij = 1; 2; 3.

Это условие означает, что тензор инерции симметричен. Поэтому он полностью определяется заданием шести координат. (Три из шести линейно зависимы).

Формулу (6) можно теперь записать в более краткой форме, симметричной

. (8)

Формула (8) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Через начало координат О будем проводить прямые во всевозможных направлениях и на них откладывать отрезки длиной . Под I в этом выражении принимается момент инерции относительно проведенного направления. Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность. Радиус-вектор и координаты точек на поверхности

Исключив с помощью этих выражений S_i в выражении (8), получим

(9)

Это уравнение поверхности эллипсоида. Поверхность эта называется эллипсоидом инерции относительно точки О.

Вид уравнения и компоненты тензора зависят от выбора начала координат и направления координатных осей.

Если ось вращения не проходит через центр масс тела или если ось вращения проходит через центр масс, но не является осью симметрии тела, то при вращении центробежные силы инерции оказывают давление на ось вращения.

Можно, однако, показать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, при вращении тела вокруг которой на ось не действуют центробежные силы инерции. Такие оси называются свободными осями.

Если координатные оси направить по свободным осям, то в уравнении (9) пропадают члены, содержащие произведения координат, и уравнение эллипсоида принимает более простой вид

(10)

Поэтому свободные оси называются также главными осями тензора инерции, I₁₁ = I₁ = I_x; I₂₂ = I₂ = I_y; I₃₃ = I₃ =I_z - моменты инерции относительно главных осей тензора инерции.

Зная моменты инерции относительно главных осей, можно определить моменты инерции I относительно произвольной оси

, (11)

где S_x; S_y; S_z - направляющие косинусы этой оси.

Поверхность эллипсоида инерции дает ясное представление о величине всех возможных моментов инерции относительно осей, проходящих через центр масс. Самая короткая ось эллипсоида направлена по оси наибольшего возможного момента инерции, длинная – по оси наименьшего.

Вид эллипсоида инерции " похож" на форму тела, которое он изображает. На рис.2 показаны однородный параллелепипед с ребрами различной длины и его эллипсоид инерции. Для параллелепипеда такое твердое тело называется асимметрическим волчком.

Если тело имеет две взаимно перпендикулярные главные оси с одинаковыми моментами инерции (цилиндр, стержень с квадратным сечением), т.е. , то его эллипсоид инерции называется симметричным волчком.

Тело, у которого (куб), называется шаровым волчком, а его эллипсоид – сфера.

Момент инерции твердого тела можно измерить следующим образом: подвесим тело на стальной проволоке, чтобы оно могло совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки.

Дифференциальное уравнение крутильных колебаний:

. (12)

где j - угол закручивания, f – модуль кручения проволоки.

Из решения уравнения (12) следует, что период гармонических крутильных колебаний

. (13)

Сняв первое тело, подвесим на той же проволоке тело с моментом инерции . Тогда период колебаний будет

. (14)

Исключив неизвестный модуль кручения f, найдем

(15)

Если один из моментов инерции, например I, известен, то по формуле (15) можно вычислить момент инерции другого тела.

2. Лабораторная установка для определения моментов инерции твердых тел. Общий вид установки показан на рис. 4. На основании (2) закреплена колонка (3), на которую с помощью прижимных винтов закреплены кронштейны (4) и (6), имеющие зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которую подвешена рамка (7), на кронштейне (5) закреплено основание (8), на котором расположен фотоэлектрический датчик (9), электромагнит (10) и угловая шкала (11). Положение электромагнита можно изменять. Конструкция рамки позволяет закреплять грузы (12) различных размеров и формы. Грузы крепятся при помощи подвижной планки, которую можно перемещать по направляющим внутри рамки.

Фотоэлектрический датчик и электромагнит соединены с блоком управления и измерения 1.

При колебаниях рамки световой поток в фотоэлектрическом датчике прерывается металлическим " флажком" 13, в электронной схеме возникают электрические импульсы, которые подводятся к миллисекундомеру. На индикаторе высвечивается число периодов и время колебаний.

На лицевой панели электронного блока размещены следующие элементы:

" сеть" – включатель сети.

" сброс" – установка счетчиков на нуль, команда на начало измерений.

" пуск" – выключатель электромагнита.

" стоп" – команда на прекращение измерений.

Некоторые технические данные установки:

масса шара – 170 г, его диаметр – 34, 5 мм;

масса параллелепипеда – 1840, 5 г, его размеры – 40 ´ 60 ´ 100;

рабочая погрешность измерения времени – 0, 02 %;

электрическое питание: 220 В, 50 Гц, 26 Вт.