Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері. Функцияның туындысы

Айталық, функциясы нү ктесінде жә не оның маң айында анық талғ ан болсын.

Анық тама. Аргумент -тің нү ктесіндегі ө сімшесі деп айырмасын атайды.

Анық тама. функцияның нү ктесіндегі ө сімшесі деп айырмасын айтады.

Анық тама. Егер функциясы нү ктесінің маң айында анық талғ ан жә не болса, онда ол нү ктесінде ү зіліссіз деп аталады. Шындығ ында да .

Анық тама. функциясының нү ктесіндегі туындысы деп

ақ ырлы шегін айтады.

Бұ л туынды мына символдардың бірімен белгіленеді: .

Егер функциясының интервалының ә рбір нү ктесінде туындысы болса, онда оны осы интервалда дифференциалданады дейді. Туындыны табу амалын дифференциалдау дейді.

Теорема. Егер функциясы нү ктесінде дифференциалданатын функция болса, онда ол бұ л нү ктеде ү зіліссіз болады.

Ескерту: теорема керісінше дұ рыс емес.

Туындының геометриялық мағ анасы. Туындының геометриялық мағ ынасы: туындысы функциясының графигіне нү ктесінде жү ргізілген жанаманың бұ рыштық коэффициенті болады. Осы жанаманың тең деуін былай жазады: .Туындының механикалық мағ ынасы. Егер айнымалысын уақ ыт деп есептеп, - функциясы дененің жү рген жолын сипаттаса, онда дененің уақ ытындағ ы жылдамдығ ын білдіреді.

Дифференциалдаудың негізгі ережелері. Туындының анық тамасын пайдаланып, кейбір элементар (қ арапайым) функциялардың туындыларын есептейміз.

1. Кө рсеткішті функция . Дербес жағ дайда .

2. Тригонометриялық функциялар .

Дә л осылай .

2. Дә режелік функция .

Дербес жағ дайда, .

Теорема 1. (қ осындыны, кө бейтіндіні жә не қ атынасты дифференциалдау ережелері). Егер жә не дифференцианалданатын болса, онда бұ л функциялардың қ осындысы, кө бейтіндісі жә не қ атынасы да (қ атынастың бө лімі ) осы нү ктеде дифференцианалданады жә не мына формулалар орынды:

1. 2. 3. .

Кү рделі функцияның туындысы. функциялары ү зіліссіз жә не дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда кү рделі функциясының туындысы: . Сонымен .

Кері функцияның туындысы. жә не оғ ан кері функциялары кесіндісінде ү зіліссіз жә не дифференциалданатын болсын. Сонда кері функцияның туындысы: . Сонымен болады.

Негізгі элементар функциялар туындыларының кестесі

Жоғ арғ ы ретті туындылар мен дифференциалдар. Жоғ арғ ы ретті туындылар жә не дифференциалдар.

берілген функциясының бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияның ө зі нө лінші ретті туынды деп аталады.

Анық тама. Функцияның –ші ретті туындысы деп оның ( -1)-ші туындысының туындысын айтады , =1, 2, 3, …, егер олар бар болса, онда функциясы -рет дифференциалданатын функция деп аталады.

Мысал. функциясы берілген. Бірінші туындысы , екінші туындысы , ү шінші туындысы . Демек, , . Егер жә не функциялары –рет дифференциалданатын болса, онда (), мына ережелер орынды: , .

2. Лейбниц формуласы:

; .

Айталық функциясы –рет дифференциалданатын болсын.

Анық тама. Функцияның –ші дифференциалы деп оның ()–ші ретті дифференциалының дифференциалын айтады: .

Дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:

,

,

. –шы ретті дифференциалдар ү шін мына ережелер орынды:

1) , .

2) , .

Ескерту: Жоғ арғ ы ретті дифференциал формасы инвариантты емес.