Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Элементы теории корреляции




 

Определение. Зависимость двухслучайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к

изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1. определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2. определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [–1;1]:

.

2. Чем модуль больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если , то между признаками функциональная связь.

4. Если , то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если , то между признаками прямая (положительная) связь, если , то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

,

где , – выборочные средние, за приближенные значения σy и σx принимают соответственно sx и sy:

, .

Выборочное уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:

,

Пример. Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в таблице:

X
Y

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу (приведена на следующей странице), в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из столбцов вычислены суммы для нахождения средних и . Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности xi и yi– , их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются (последняя строка), чтобы получились величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности xi и

yi будут всегда равны нулю.

Находим средние и (смотри данные в таблице, 1–2 столбцы):



= 700/10 = 70, = 230/10 = 23.

Выполнив все вычисления в таблице (3 – 7 столбцы), получаем:

Σ(xi )(yi ) =1520,

Σ(xi )2 = 8250,

Σ(yi )2 = 298.

Подставляя эти значения в соответствующую формулу, вычислим коэффициент корреляции:

 

 

xi yi xi (xi )2 yi (yi )2 (xi )(yi )
–45 –35 –25 –15 –5 –9 –5 –4 –3

 

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

Найдем теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

,

где , .

Тогда σyx=

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X: =70, =23, rB=0,97, σyx=0,19, получим y–23=0,97∙0,19∙(x–70) или y–23=0,18x–12,6.

Окончательно, y=0,18x + 10,4 – искомое уравнение прямой регрессии Y на X.



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2017 год. (0.01 сек.)