Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появиться в n испытаниях ровно k раз: P (k) =

При применении формулы учитывается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно.

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, если число испытаний велико, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно.

Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р (k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

Р (k) =

где φ (x) = ; q = 1 – p.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции φ (x)= ,

соответствующие положительным значениям аргумента x (см. приложение 1).

Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как φ (х) – функция четная, то есть φ (–x) = φ (x).

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании

равна 0, 2.

Решение. По условию, n=400; k=80; p=0, 2; q=0, 8.

Воспользуемся формулой Лапласа:

Р (80)≈ .

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

x = (k–np) / = (80 – 400 ∙ 0, 2) / 8 = 0

По таблице приложения 1 находим φ (0)=0, 3989.

Искомая вероятность:

Р (80)= (1/8)∙ 0, 3989=0, 04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены): Р (80)=0, 0498.