Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение. Будем говорить, что события В , В , …, В образуют полную группу событий, если:

1. Событие В + В + …+ В достоверное;

2. События В_i и В_j – попарно несовместные (i= 1, 2, …, n, j= 1, 2, …, n, i j).

Утверждение. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Пример. Студент на экзамене может получить одну из четырех оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». События – получил «отлично»,

– получил «хорошо»,

– получил «удовлетворительно»,

– получил «неудовлетворительно»

попарно несовместные и в сумме – событие достоверное, так как обязательно происходит одно из этих событий. Следовательно, события В , В , В , В₄ образуют полную группу событий.

Для нахождения вероятности события А, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий В , В , …, В , образующих полную группу, используется формула:

Р(А)=

Эта формула называется формулой полной вероятности.

События В , В , …, В называются гипотезами.

Пример. В урну, содержащую два шара, опущен зеленый шар. Найти вероятность того, что будет вытащен из урны зеленый шар, если равновероятны первоначальные представления о цвете шаров.

Решение. Событие А– извлечен зеленый шар.

Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:

В – первоначально зеленых шаров не было в урне;

В – был 1 зеленый шар;

В – оба шара зеленые.

По условию задачи гипотезы равновероятны и образуют полную группу событий, следовательно, вероятность каждой из гипотез равна ⅓, то есть Р(В )= Р(В ) = Р(В ) = ⅓. Тогда условные вероятности наступления события А при появлении каждой из гипотез будут соответственно равны:

Р (А) = ⅓; Р (А) = ⅔; Р (А) =1.

Отсюда по формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = Р(В ) · Р (А) + Р(В ) · Р (А) + Р(В ) · Р (А).

Р(А) = ⅓ · ⅓ + ⅓ · ⅔ + ⅔ · 1 = ⅔.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В , В , …, В , образующих полную группу событий.

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез В , В , …, В могут быть переоценены по следующей формуле:

Р (B )= ,

где i = 1, 2, 3, …, n.

Эта формула называется формулой Байеса.

Пример. Два автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.

Решение. Рассмотрим событие А – деталь отличного качества.

Можно составить две гипотезы:

В – деталь сделана первым автоматом, причем Р(В ) = ⅔, так как его производительность вдвое больше производительности второго автомата.

В – деталь сделана вторым автоматом, причем Р(В ) = ⅓.

Условная вероятность появления события А при выполнении гипотезы В равна Р (А) = 0, 6.

Условная вероятность появления события А при выполнении гипотезы В равна: Р (А) = 0, 84.

Отсюда вероятность появления события А равна:

Р(А) = ⅔ · 0, 6 + ⅓ · 0, 84 = 0, 68.

Тогда вероятность того, что деталь отличного качества сделана первым автоматом, по формуле Байеса равна:

Р (В ) = = .