Гипербола және оның қасиеттері

Анық тама. Гипербола деп фокустары деп аталатын нү ктелерден қ ашық тық тары айырмасының модулі сол фокустары арақ ашық тығ ынан (F₁F₂ = 2c) кем болатын тұ рақ ты 2 а санына тең болатын жазық тық тағ ы нү ктелердің геометриялық орнын айтады, оны былайша белгілейді:

|F₁М - F₂М| = 2 а (5).

F₁, F₂ – гиперболаның фокустары. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0), F₁F₂ = 2c.

с – фокустары ара қ ашық тығ ының жартысы; 2 а - тұ рақ ты шама. F₁М жә не F₂М қ ашық тық тарын r₁ =F₁М, r₂= F₂М деп белгілесек, онда (5) тең дік мына тү рде жазылады:

ï r₁ – r₂ï = 2a (5¹)

Гиперболаның бойынан кез келген М(х, у) нү кте алайық..

y

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

a

F₁ А₂(- а; 0) А₁(а; 0) F₂

c

Сонда:

с² – а² = b² деген белгілеме енгіземіз (геометриялық тү рдегі бұ л шама – кіші жарты ось)

Гиперболаның жабайы (канондық) тең деуін алдық..

Гипербола фокустарын қ осатын кесіндінің ортасына (О нү ктеге), жә не координат осьтеріне қ арағ анда симметриялы.

2а гиперболаның нақ ты ө сі деп аталады.

2b гиперболаның жорамал ө сі деп аталады.

Гиперболаның қ асиеттерін студенттерге ө з беттерімен қ арастыруғ а тапсырылады.

Гиперболаның екі асимптотасы болады жә не олар тең деулері арқ ылы беріледі.

Анық тама. қ атынасы гиперболаның эксцентриситеті деп аталады, мұ ндағ ы с – фокустары қ ашық тығ ының жартысы, а –нақ ты жарты ө сь.

с² – а² = b² екеніні ескерсек:

Егер а = b, = болса, онда гипербола тең бү йірлі (тең қ абырғ алы) деп аталады.

Анық тама. Гиперболаның нақ ты ө сіне перпендикуляр, оның центріне қ арағ анда симметриялы жә не одан a/ қ ашық тық та болатын екі тү зу гиперболаның директрисалары деп аталады.Олардың тең деулері: .

Теорема. Егер r – гиперболаның кез келген М нү ктесінен қ андай да бір фокусына дейінгі қ ашық тығ ы, ал d – осы фокусқ а сә йкес директрисағ а дейінгі қ ашық тығ ы болса, онда r/d қ атынас – эксцентриситетке тең тұ рақ ты шама.

Дә лелдеуі. Гиперболаны схемалық тү рде кескіндейік:

y

a/e d

M(x, y)

r₁

0 a F₁ x

OF₁ = c. Геометриялық кескінедемеден мыналарды жазуғ а болады:

a/ e + d = x, сондық тан d = x – a/ e. (x – c)² + y² = r²

Гиперболаның канондық тең деуінен: , с учетом b² = c² – a²:

Сонда с/a = болғ андық тан, r = x – a.

Сонымен: .

Гиперболаның сол жақ тағ ы тармағ ы ү шін дә лелдеме осы тә різдес.

Пример. Тө белері мен фокустары эллипсінің сә йкес тө белері мен фокустарында болатын гиперболаның тең деуін жаз.

Эллипс ү шін: c² = a² – b².

Гипербола ү шін: c² = a² + b².

Гиперболаның тең деуі: .

Мысал. Егер гиперболаның эксцентриситеті 2-ге тең, ал фокустары тең деуімен берілген эллипстің фокустарымен беттессе, онда гиперболаның тең деуін жаз.

Шешу. Эллипстің фокустық ара қ ашық тығ ын табамыз: c² = 25 – 9 = 16.

Гипербола ү шін: c² = a² + b² = 16, = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Сонда - гиперболаның тең деуі болады.