Решение системы нелинейных уравнений

Средство поиска решений позволяет находить решение системы нелинейных уравнений. Рассмотрим, как это делается, на примере решений следующей системы уравнений:

Напомним, что пара (х и у) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными.

(х ²+ у ²-3)²+(2 х +3 у -1)²=0

С помощью средства поиска решений вместо системы будем решать равносильное ее уравнение. Отметим, что решением системы уравнений являются точки пересечения окружности с радиусом, равным 3, и прямой. Следовательно, уравнение имеет не более двух различных решений.

Определяемое решение нелинейной задачи зависит от начального приближения, удачный подбор которого очень важен. В данном слуачае локализовать корни можно, например, протабулировав левую часть уравнения по переменным х и у на отрезке [-3, 3]:

Рис. 3.6. Табуляция нелинейной функции

В ячейках А2: А6 и B1: F1 введены значения х и у соответственно. В ячейку В2 введена формула

=($A2^2+B$1^2-3)^2+(2*$A2+3*B$1-1)^2,

вычисляющая правую часть уравнения при значении х и у из ячеек А2 и В1 соответственно. Протащим эту формулу на диапазон В2: F6. Из рисунка видно, что за начальное приближение к корню целесообразней выбрать следующие пары значений (-1; 1), (1; 0), (1; -1). Можно убедится что две последние пары начальных приближений с помощью средства поиска решений будут приводить к одному и тому же решению.

Для нахождения первого корня отведем под применением х и у ячейки А10 и В10, соответственно, и введем в них начальные приближения -1 и 1. В ячейку С10 введем формулу:

=(A10^2+B10^2-3)^2+(2*A10+3*B10-1)^2

Затем вызываем команду Сервис. Поиск решений и заполняем открывшееся диалоговое окно.

После нажатия на кнопку Выполнить средство поиска решения находит решение.

Аналогично находится и второе решение. Решениями будут значения 1, 576 и -0, 717. Убедитесь, что начальное приближение (1; -1) приводит к тому же результату, что и приближение (1; 0).