Движение несжимаемой жидкости в открытых руслах

Движение жидкости в открытых руслах каналов характеризуется наличием свободной поверхности. При равномерном движении будут постоянны площадь и форма живого сечения, расход и средняя скорость течения, местные скорости в сходственных точках сечений.

Рассмотрим поток в условиях равномерного движения в канале с уклоном дна , в соответствии с рисунком (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Продольное сечение русла канала

При равномерном установившемся движении воды в открытых призматических руслах уклоны дна канала , свободной поверхности (пьезометрический уклон) и линии удельной энергии равны:

. (3.1)

Живым сечением потока называется поверхность, проведенная нормально к линиям тока. Следовательно, живое сечение будет нормально к поверхности воды и к линии дна. Обычно уклон дна невелик, поэтому можно считать живые сечения вертикальными. Для постоянного сечения потока, расположенного вертикально, основной его характеристикой будет глубина потока. Глубина равномерного движения потока называется нормальной глубиной и обозначается .

При применении уравнения Бернулли ранее, определяли геодезическую высоту, как расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести живого сечения потока. Здесь, поскольку давление в сечениях подчиняется закону гидростатики, геодезическую отметку лучше всего определять от плоскости сравнения до поверхности воды. Уравнение Бернулли, написанное для равномерного движения в открытом потоке, при равенстве скоростей в сечениях и одинаковых (атмосферных) давлениях на поверхности будет:

. (3.2)

Это означает, что при равномерном движении потеря напора по длине определяется разностью отметок поверхности воды.

Основной формулой для равномерного движения воды в каналах и естественных руслах является формула Шези:

. (3.3)

где - коэффициент Шези, или «скоростной множитель», м^{0, 5}/сек. Коэффициент Шези играет в практических расчетах важную роль и поэтому должен определяться возможно точнее. Величина коэффициента С зависит от шероховатости стенок и дна русла, от геометрической формы и размеров поперечного сечения русла и определяется по эмпирическим формулам, предложенным различными авторами на основе опытных данных.

В 1925 году Н.Н. Павловским была предложена формула:

(3.4)

где ;

- коэффициент шероховатости, зависящий от поверхности стенок русла.

Показатель степени зависит от коэффициента шероховатости и гидравлического радиуса. Формула (3.4) дает хорошие результаты при значениях = 0, 1÷ 3м и при значениях = 0, 011÷ 0, 04. Для практических целей обычно применяется одна из следующих упрощенных форм выражения:

при м

при м.

В.Н. Гончаров для определения C предложил специальную классификацию русел, в зависимости от , и связь между коэффициентом шероховатости и средними величинами выступов шероховатости .

. (3.5)

В 1949 году И.И.Агроскин вывел следующую формулу:

. (3.6)

В 1965 году И.И. Агроскин и Д.В.Штеренлихт уточнили формулу (3.6) и предложили ее в виде:

. (3.7)

Г.В. Железняков представил зависимость (3.7) более подробно в следующем виде:

.(3.8)

Формула (3.8) справедлива в большом диапазоне глубин потока и коэффициентов шероховатости. Из-за сложного вида формулы по ней составлена таблица, которой пользуются в гидрологических и гидравлических расчетах.

В результате анализа натурных данных для каналов с гидравлическим радиусом R=2¸ 20м, Д.В. Штеренлихтом была предложена уточненная формула для коэффициента Шези:

. (3.9)

Поскольку формулы для коэффициента Шези зависят от гидравлического радиуса, то проще всего объединить эти два параметра, и формулу Шези для определения расхода представить в виде:

, (3.10)

где - модуль расхода или расходная характеристика потока, , физический смысл которой - расход потока при гидравлическом уклоне, равном единице.

В настоящее время применяются одночленные степенные формулы для определения коэффициентов и . Так как коэффициенты и размерные, то, вычисляя их, следует пользоваться метровыми мерами, для которых составлены все формулы, а также таблицы для определения коэффициента шероховатости .

Наиболее точной формулой, основанной на большом количестве опытных материалов, явяется формула Павловского (3.4), частный вид которой:

(3.11)

Существуют следующие формы поперечных сечений каналов в соответствии с рисунком 3.2. Наиболее часто встречаемые формы поперечных сечений каналов - трапецеидальная (рис. 3.2, б) и прямоугольная (рис. 3.2, в).

Основными гидравлическими характеристиками каналов являются:

- глубина жидкости в канале;

- ширина канала понизу;

- коэффициент заложения откосов;

- ширина канала поверху;

- площадь живого сечения канала;

- смоченный периметр;

- гидравлический радиус.

Рисунок 3.2 – Формы живых сечений каналов

Рассмотрим трапецеидальное сечение канала, его геометрические размеры определяются шириной канала понизу ; коэффициентом заложения откосов , представляющим собой котангенс угла наклона откоса к горизонту ( -тета); глубиной воды в канале . Напомним, что коэффициент заложения откосов представляет собой котангенс угла наклона откоса к горизонту ( -тэта).

Определим через указанные величины гидравлические характеристики канала:

площадь живого сечения:

; (3.12)

ширина канала поверху:

; (3.13)

смоченным периметр:

; (3.14)

гидравлический радиус:

. (3.15)

Из приведенных формул можно получить зависимости для соответствующих элементов для русел прямоугольной и треугольной форм сечения.

В прямоугольном русле стенки вертикальны, следовательно, , тогда получим:

; ; ; . (3.16)

Для русла треугольной формы , поэтому имеем:

; ; ; .(3.17)

Гидравлически наивыгоднейшей называется такая форма поперечного сечения русла, которая при заданных площади сечения канала и шероховатости дает наибольшую пропускную способность.

Если взять ряд живых сечений различной формы, но одинаковой площади и шероховатости, то наивыгоднейшим из них будет то сечение, которое при том же уклоне будет пропускать наибольший расход.

Рассматривая формулу расхода , следует отметить, что при постоянных площади сечения и уклоне расход тем больше, чем больше гидравлический радиус . Но так как , то максимальной пропускной способностью будет обладать сечение с наименьшим смоченным периметром .

Таким образом, вопрос сводится к нахождению формы сечения с минимальной величиной смоченного периметра при заданной площади сечения .

В трапецеидальном сечении при одинаковой площади живого сечения и постоянном коэффициенте заложения откоса , назначаемом в зависимости от рода грунта, может быть различное соотношение между шириной по дну и глубиной .

Наивыгоднейшей с гидравлической точки зрения будет такая форма трапеции, которая при одинаковой площади живого сечения обладает наименьшим смоченным периметром .

Найдем такое отношение ширины дна к глубине , которое дает минимальный смоченный периметр. Для этого исследуем на минимум функцию при постоянной площади сечения и постоянном коэффициенте заложения откоса .

Выразив ширину канала по дну из формулы (3.12) и подставив это значение в формулу (7.14), получим следующее соотношение:

. (3.18)

Найдем производную смоченного периметра по глубине;

.(7.19)

При минимуме производная и тогда, соответственно, приняв отношение получим выражение, определяющее соотношение между шириной и глубиной для гидравлически наивыгоднейшего сечения трапецеидальной формы:

. (3.20)

Следует отметить еще свойство гидравлически наивыгоднейшего трапецеидального сечения. Если в выражении для гидравлического радиуса (3.15) заменить , то после сокращения имеем

, (3.21)

т.е. для трапецеидальных гидравлически наивыгоднейших сечений гидравлический радиус равен половине глубины.

При различных значениях коэффициента из всех трапеций наивыгоднейшей будет та, которая представляет собой половину правильного шестиугольника, т.е. при .

При решении задач на равномерное движение в открытых руслах как и при расчете трубопроводов применяется понятие расходной характеристики («модуля расхода»):

. (3.22)

Как видно из формулы (3.21), расходная характеристика численно равна расходу в русле при уклоне = 1 и, следовательно, имеет размерность расхода. Понятие расходной характеристики позволяет несколько упростить решение некоторых задач на расчет каналов.

При гидравлическом расчете каналов встречаются следующие основные типы задач.

Первый тип задач. Требуется определить пропускную способность канала , или среднюю скорость потока если известны его размеры (, и ), коэффициент шероховатости и уклон .

Технология расчета следующая: определяются последовательно площадь живого сечения канала , смоченный периметр , гидравлический радиус ; устанавливается коэффициент шероховатости ; затем по табличным данным находят значение скоростного множителя , Определяется расход потока по формуле (7.10) или его средняя скорость по формуле (3.3).

Аналогично решается задача об определении уклона канала, если известны , , , и :

. (3.23)

Эта задача также решается непосредственно по формуле Шези, относительно искомого уклона:

. (3.24)

Второй тип задач. Необходимо определить глубину при заданном расходе , если известными величинами являются , , , . Эта задача называется задачей о нормальной глубине. Как отмечалось ранее, нормальной называется такая глубина, которая устанавливается в русле при заданном расходе в условиях равномерного движения.

Данная задача имеет несколько вариантов решения.

Первый вариант решения - подбором по формуле Шези. Здесь удобно вначале вычислить расходную характеристику: при заданном расходе . Далее задаются каким-либо значением глубины , и вычисляют соответствующие ей значения , , , , и . Полученное значение , сравнивают с . Здесь возможны три случая: , , . Поскольку глубина связана с расходной характеристикой, то это дает возможность принять решение о назначении и расчете следующей глубины: ее назначают в первом случае , во втором случае , а в третьем случае , т.е. здесь расчет оканчивается. Во всех случаях подбора глубины необходимо выполнить столько расчетов, сколько необходимо для нахождения нормальной глубины .

Второй вариант расчета аналогичен предыдущему, только в нем сокращается число отдельных расчетов. Здесь целесообразно вычислить не менее трех пар значений , при этом обязательно должно быть одно значение и одно значение . После этих вычислений следует построить график (рис. 3.3), используя при необходимости также точку при . По графику можно довольно точно найти искомое .

Рисунок 3.3 – График для определения нормальной глубины

Третий тип задач. Требуется подобрать размеры поперечного сечения канала - ширину и глубину , если известны , , . Этот тип задач наиболее часто встречается в инженерной практике при проектировании каналов. Так как у нас имеются две неизвестные величины: и , то задача оказывается неопределенной. Поэтому одной из них задаются, а вторую определяют. При этом следует стремиться к тому, чтобы сечение получилось гидравлически наивыгоднейшим. Если ширина и глубина не ограничены условиями расчета, то можно рассчитывать канал гидравлически наивыгоднейшего сечения. Для этого определяют по формуле (3.20), а затем выражают через и подбирают значение аналогично предыдущей задаче.

Средняя скорость движения воды в каналах должна находиться в пределах: ,

где - максимальная допустимая скорость течения воды при равномерном движении;

- минимальная допустимая скорость течения воды при равномерном движении.

При русло канала будет размываться водой, а при русло будет заиливаться наносами, которые транспортирует поток. Скорость протекания воды зависит от уклона канала, а максимальная скорость протекания воды зависит только от материала, из которых сложены стенки и дно русла канала. Для определения максимальных допустимых скоростей используются многочисленные эмпирические формулы, в которых эта скорость зависит от среднего диаметра частиц грунта , глубины потока или его гидравлического радиуса и других параметров. Например формула Леви:

, (3.25)

где - коэффициент, учитывающий уплотненность грунта ( для хорошо уплотненных грунтов, для грунтов с рыхлой структурой).

ормула Латышенкова:

. (3.26)

Минимальные скорости протекания воды в канале устанавливаются из условия недопущения заиления каналов и зависят от размеров и количества взвешенных частиц в потоке. Здесь также применяются эмпирические формулы, например формула Леви:

, (3.27)

где - скорость падения частиц в покоящейся жидкости, называемая гидравлической крупностью частицы (определяют экспериментально);

d - средний диаметр частиц преобладающей массы взвешенных наносов; р — массовая насыщенность (в процентах) взвешенных наносов с ;

- коэффициент шероховатости русла;

- гидравлический радиус.

Допустимую минимальную скорость протекания воды в канале можно также определить по формуле А. С. Гиршкана:

, (3.28)

где - расход потока, м³/с;

- коэффициент, принимаемый в зависимости от гидравлической крупности частиц:

при < 1, 5мм/с =0, 33

1, 5÷ 3, 5мм/с =0, 44

> 3, 5мм/с =0, 55.

Варианты индивидуального домашнего задания

Задачи по вариантам

Задача 1. Для одной из схем сооружений определить аналитическим и графоаналитическим способами величину и точку приложения силы ГСД, действующей на затвор АВ. (Угол выбрать самостоятельно). Расчет производится по гидравлическим зависимостям, без использования основ теоретической механики и сопротивления материалов.

Исходные данные	Вариант
Схема
h1, м	2, 0	2, 2	2, 5	3, 0	3, 2	3, 5
h2, м	0, 8	1, 0	1, 2	1, 5	2, 0	2, 2
Ширина, b, м	1, 0	1, 2	1, 5	1, 8	2, 2	2, 0
а, м	-	-	1, 0	2, 0	2, 2	2, 5
, град.		-	-		-

Исходные данные	Вариант
Схема
h1, м	4, 0	4, 2	4, 5	5, 0	5, 2	5, 5
h2, м	3, 0	3, 0	3, 2	4, 0	4, 0	3, 0
Ширина, b, м	2, 6	2, 8	2, 4	3, 2	3, 4	2, 5
а, м	2, 5	-	2, 5	3, 5	3, 5	4, 0
, град.	-		-			-

Исходные данные	Вариант
Схема
h1, м	2, 2	3, 0	3, 2	3, 5	4, 0	4, 2
h2, м	1, 0	1, 5	2, 0	2, 2	3, 0	3, 0
Ширина, b, м	1, 2	1, 8	2, 2	2, 0	2, 6	2, 8
а, м	-	2, 0	2, 2	2, 5	2, 5	-
, град.		-			-

Исходные данные	Вариант
Схема
h1, м	4, 5	5, 0	5, 2	5, 5		4, 2
h2, м	3, 2	4, 0	4, 0	3, 0	2, 0	3, 0
Ширина, b, м	2, 4	3, 2	3, 4	2, 5	1, 0	2, 8
а, м	2, 5	3, 5	3, 5	4, 0	-	-
, град.		-		-		-

Задача 2. Для одной из схем сооружений определить величину, направление и координаты точки приложения силы ГСД, действующей на 1м ширины цилиндрической части сооружения АБВ. Направление и координаты центра давления силы Р проверить графически. Расчет производится по гидравлическим зависимостям, без использования основ теоретической механики и сопротивления материалов.