Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формула бинома Ньютона




Выведем формулу, позволяющую возводить двучлен (бином) (а+b) в любую целую неотрицательную сте­пень. Это формула бинома Ньютона. Она имеет следующий вид:

.

Докажем данную формулу методом математической индукции по n, где n≥0.

1. Формула верна при n = 0, 1, 2. В самом деле,

;

; ;

2. Пусть формула верна при n = k. Докажем ее при n = k + 1.

.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по степеням а, получим:

.

С учетом свойства 4 и того, что и , имеем:

Итак, индукция завершена, значит истинность формулы доказана.

В формуле бинома Ньютона для (а + b)n сумма степеней а и b в каждом слагаемом равна n. Числа называются биномиаль­ными коэффициентами. При вычислении биномиальных коэффициен­тов удобно применять треугольник Паскаля.

В качестве примера найдем: а) (a + b)5; б) (х2-1)4:

а)

;

б)

Легко убедиться, что хорошо известные формулы сокращенного ум­ножения для (a + b)2 и (a + b)3 представляют собой частные случаи фор­мулы бинома Ньютона.

Упражнения

1. Докажите:

 

а) ;

б) ;

в) .

2. Напишите разложение по формуле бинома Ньютона и упростите при необходимости:

а) (a + b)4; б) (a ― b)4; в) (a + 2b)5; г) (a – 2b)5;

д) (1 + 2x)5; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ; м) ;

н) ; о) ; п) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

 

3. Найдите:

а) шестой член разложения (1 ― 2z)21;

б) шестой член разложения ;

в) пятый член разложения ;

г) пятый член разложения ;

д) два средних члена разложения (a3-ab)23;

е) в разложении член, не содержащий x;

ж) в разложении член, не содержащий z;

з) в разложении коэффициент при а8;

и) в разложении коэффициент при х4;

к) x, если третий член разложения (х +xlg x)5 равен 106.


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2017 год. (0.006 сек.)