Решение. поскольку интеграл по симметричному интервалу берётся от нечётной функции

,

поскольку интеграл по симметричному интервалу берётся от нечётной функции. Ряд Фурье имеет вид

.

При получим полезные соотношения:

, откуда следует .

Пример 14.4. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение.

, т.е. .

В итоге:

,

При получаем ещё одно полезное соотношение:

или .

В случае, если периодическая функция с периодом задана в промежутке , разложение её в ряд Фурье тоже возможно, однако формулы для вычисления коэффициентов несколько видоизменяются. Если прибегнуть к замене переменной , то получим функцию , определённую в промежутке , к которой приложимы все предыдущие соотношения:

Возвращаясь к прежней переменной , полагая , получим:

(14.10)

(14.11)

, . (14.12)

Пример 14.5. Разложить в ряд Фурье функцию в промежутке .