Формы законов распределения непрерывной случайной величины

Рис. 5.

Функция распределения и плотность вероятности связаны между собой соотношениями

,

.

Свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности есть неотрицательная функция .

2. Плотность вероятности удовлетворяет условию нормировки .

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения непрерывна слева.
2. Функция распределения – неубывающая функция на всей области определения.
3. , .
4. Для любых и выполнено равенство .
5. Функция распределения непрерывной случайной величины есть непрерывная дифференцируемая функция.
6. Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-непрерывной и имеет конечное или счетное число скачков.
7. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Пример 6. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

.

Требуется найти: 1) параметр С; 2) функцию распределения; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2).

Решение. 1) Для нахождения параметра С используем условие нормировки

.

Поскольку плотность вероятности отлична от нуля только на отрезке [0; 3], то интеграл по всему промежутку превращается в интеграл

.

Отсюда .

2) Функция распределения случайной величины вычисляется как интеграл с переменным верхним пределом от плотности вероятности. Поскольку плотность вероятности является кусочно-непрерывной функцией, то интеграл с переменным верхним пределом вычисляется на каждом из промежутков , (0; 3), .

При получаем

.

При получаем интеграл

.

И, наконец, при получаем

.

Таким образом, функция распределения равна

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2) вычисляется по формуле

.