Определители. 1.Определителем 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле

1. Определителем 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле

,

где а_ij называется элементом определителя; первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

2. Определителем 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле (правило треугольников)

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 =} а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ – а₃₁ а₂₂ а₁₃ – а₂₁ а₁₂ а₃₃ –

а₃₁ а₃₂ а₃₃ -а₃₂ а₂₃ а₁₁ .

3. Минором М_ij элемента а_ij определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания элементов i -ой строки и j -го столбца (на пересечении которых находится элемент а_ij).

4. Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij данного определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (–1) ^i+j, т.е. А_ij = (–1) ^i+j· М_ij.

Ø ê = а_i1 А_i1 + а_i2 А_i2 + …+ а_in А_in =

(разложение по элементам i -й строки, i = 1, 2, …, n);

Ø ê = а_1j А_{1 j} + а_{2 j} А_{2 j} + …+ а_nj А_nj =

(разложение по элементам j -го столбца, j = 1, 2,.., n).

Свойства определителей

1. Замена всех строк соответствующими столбцами (транспонирование) не меняет значение определителя.

В дальнейшем строку или столбец будем называть рядом определителя.

2. Перестановка двух параллельных рядов меняет знак определителя.

3. Общий множитель всех элементов какого-нибудь ряда можно выносить за знак определителя.

4. Если все элементы какого-нибудь ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель с двумя пропорциональными (равными) параллельными рядами равен нулю.

6. Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

7. Определитель не изменится, если к элементам какого-нибудь ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.