Алгебраїчні критерії стійкості

Перший алгебраїчний критерій, який можна використовувати для системи 3-го порядку, був сформульований І.А.Вишнеградським в 1876 р.:

для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням

необхідне виконання двох умов:

1) всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними;

2) похідна середніх коефіцієнтів повинна бути більша від похідної крайніх

.

В коефіцієнти рівнянь входять лише значення параметрів системи, тому стійкість останньої визначається тільки параметрами і не залежить від їх стану.

Для визначення систем будь-якого типу порядку використовують критерії Гурвіца та Рауса. Критерій Гурвіца більш простіший, тому його використовують частіше. Він формулюється так:

Система з характеристичним рівнянням

буде стійкою, якщо визначник і всі його діагональні мінори додатні:

.

При складанні визначника Гурвіца спочатку по діагоналі розміщують коефіцієнти, починаючи з до :

. (4.8)

Потім визначник заповнюють по стовпцях: вище діагональних коефіцієнтів записуються коефіцієнти із індексами, що зменшуються, а нижче – із зростаючими. При досягненні нульового або n-го індексу далі ставляться нулі.

Кожен діагональний мінор визначника Гурвіца отримують з попереднього мінору шляхом викреслювання нижнього рядка і правого стовпчика. Мінор отримують з визначника Гурвіца за загальним правилом, тобто шляхом викреслювання з нижнього рядка і правого стовпчика. Нижчий діагональний мінор Гурвіца .

Як приклад використаємо критерій Гурвіца для визначення стійкості системи з характеристичним рівнянням

.

Складемо визначник Гурвіца і його діагональні мінори

Звідси видно, що визначник Гурвіца і його діагональні мінори додатні. Отже, система, що досліджується, стійка.

Позитивною ознакою алгебраїчних критеріїв є простота використання, а недоліком – те, що вони не дозволяють оцінити вплив на стійкість системи параметрів окремих її елементів. Цього недоліку можна позбутися за допомогою графоаналітичного критерію А.В.Михайлова.