VIII. Векторные пространства и линейные операторы.

36.Найдите все значения l, при которых вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, а₃ (вектор b и векторы а₁, а₂, а₃ заданы координатами в некотором базисе): а₁ = (2, 3, 5), а₂ = (3, 7, 8), а₃ = (1, -6, 1), b = (7, -2, l).

37.Матрица Т является матрицей перехода от базиса (е₁, е₂, е₃) к базису

(а₁, а₂, а₃). Найти координаты векторов е₁, е₂, е₃ и вектора х в базисе а₁, а₂, а₃:

38.Найти базис и размерность подпространства решений однородной системы линейных уравнений:

х₁ + х₂ – х₃ – 2х₄ = 0,

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = 0,

х₁ + х₂ – 5х₃ – 8х₄ = 0,

х₁ + х₂ – 9х₃ – 14х₄ = 0.

39.Найдите размерность и базис суммы и пересечения подпространств, заданных системами уравнений:

40. Для подпространства L₁, являющегося линейной оболочкой системы векторов а₁ = (1, 0, 0, -1), а₂ = (2, 1, 1, 0), а₃ = (1, 1, 1, 1), а₄ = (1, 2, 3, 4),

а₅ = (0, 1, 2, 3), построить прямое дополнение L₂ и найти проекцию вектора х = (1, 3, 2, 1) на подпространство L₁ параллельно L₂.

41. Линейный оператор j переводит вектор х в вектор j(х). Найти образ вектора а и прообраз вектора у, если

j(х) = (х₁ + 2х₂ + х₃, х₁ + 2х₂ + х₃, х₁ + х₃); а = (1, 1, 1); у = (1, 2, 3).

42. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которых заданы своими координатами:

А(2, 4, 2, 4, 2), В(6, 4, 4, 4, 6), С(5, 7, 5, 7, 2).

43. Выявить линейную зависимость системы векторов: