V. Матрицы и определители.

I. Решение систем линейных уравнений.

1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

4х₁ – 3х₂ – 2х₃ = 3,

2х₁ – 4х₂ – 3х₃ = 0,

х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 5.

2. Исследовать и решить систему линейных уравнений:

х₁ + 2х₂ + 3х₃ – 2х₄ + х₅ = 4,

3х₁ + 6х₂ + 5х₃ – 4х₄ + 3х₅ = 5,

х₁ + 2х₂ + 7х₃ – 4х₄ + х₅ = 11,

2х₁ + 4х₂ + 2х₃ – 3х₄ + 3х₅ = 6.

3. Решить систему линейных уравнений сведением её к матричному виду:

х₁ + 3х₂ + 5х₃ = -1,

х₁ + х₂ + 2х₃ = 3,

2х₁ + х₂ + 3х₃ = 0.

II. Понятие группы, кольца и поля.

4. Является ли группой множество чисел, кратных 3, относительно операции сложения?

5. Является ли кольцом множество чисел, кратных 7, относительно операций сложения и умножения?

6. Является ли группой множество квадратных невырожденных матриц n-порядка, определитель которых равен 1, относительно операции умножения?

7. Выясните, является ли полем кольцо всех матриц вида

, где a, bÎ Q.

III. Свойства делимости целых чисел.

8. Доказать, что при любом натуральном n выражение n(n⁴ – 125n² + 4) делится на 120.

9. Доказать, что если НОД(n, 6) = 1, то выражение n² – 1 делится на 24.

10. Найти сумму остатков от деления числа 2008 на 2, 3, 4, 5, 11 и 25.

11. Доказать, что сумма трех последних натуральных степеней числа 5 делится на 155.

12. Доказать, что 57⁴⁹ + 111⁵⁵делится на 56.

13. Известно, что р и 8р² + 1 – простые числа. Найти все такие числа р.

14. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а, в и с двумя способами (с помощью алгоритма Евклида и с помощью разложения чисел на простые множители): а = 528, в = 154, с = 1816.

19. Найти натуральные числа а и в по следующим условиям:

ав = 8400, НОД(а, в) = 20.

20.Найти натуральные числа а и в по следующим условиям:

НОД(а, в) = 21, НОК(а, в) = 6006.

IV. Сравнения первой степени. Простейшие приемы решений сравнений первой степени и их систем.

15. Найти последнюю цифру числа 2²⁰⁰⁸.

16. Решить сравнение: 84х º 12 (mod 30)

17. Решить систему уравнений:

4х º 7 (mod 13),

х º 2 (mod 17),

5х º 3 (mod 9),

8х º 4 (mod 14).

V. Матрицы и определители.

21.Решить уравнение:

22. Решить матричное уравнение: