Действие вертикальной сосредоточенной силы, приложенной к поверхности линейно-деформируемого полупространства (задача Буссинеску 1885 г.)

Рассмотрим действие вертикальной сосредоточенной силы N, приложенной в точке О к горизонтальной плоскости, являющейся поверхностью линейно-деформируемого полупространства, простирающегося в бесконечность ниже этой плоскости (рис. 6.2, а). От действия силы N во всех точках полупространства возникает сложное напряженное состояние. В общем случае в каждой точке полупространства, несколько удаленной от точки О, в декартовой системе координат будет действовать шесть составляющих . Решение этой задачи было выполнено Буссинеском (1885 г.).

Пусть положение точки М₁ (рис. 6.2, а) определяется полярными координатами R и β системы координат с началом в точке приложения силы N. Под действием силы N точка М₁ переместится в направлении радиуса R на величину S₁. Чем дальше от точки О будет расположена точка М₁, тем меньше будет ее перемещение; при R =∞ перемещение точки М₁ будет равно нулю. Следовательно S₁ можно принять обратно пропорциональным R. В то же время при одном и том же значении R для различных величин угла β перемещения точек будут неодинаковы. Наибольшее перемещение получит точка, расположенная на оси z, т. е. при β = 0. С увеличением угла β перемещения по направлению радиуса R уменьшаются, и в случае β =90° (на поверхности грунта) при малых деформациях будут равны нулю. В связи с этим можно принять, что перемещение точки М₁ по направлению радиуса, кроме зоны около точки приложения силы N, будет

где α ₁ — коэффициент пропорциональности.

Рис. 6.2. Схема к выводу формулы (6.1)

а — расположение точек М₁ и М₂ в полупространстве; б — распределение напряжений по волушаровой поверхности с радиусом R; в — напряжения, действующие в точке М₁.

Эта зависимость удовлетворяет граничным условиям. Рассмотрим теперь точку М₂ на продолжении радиуса R. Пусть точка М₂ находится на расстоянии dR от точки М₁. Руководствуясь записанным выражением, найдем перемещение точки М₂ по направлению радиуса R:

В таком случае относительная деформация грунта на отрезке dR составит:

Пренебрегая величиной RdR, малой по сравнению с R², и учитывая линейную зависимость между напряжениями и деформациями, найдем выражение для напряжений сжатия, действующих на площадки, перпендикулярные направлению радиуса R, без учета силы тяжести грунта:

(а)

Для нахождения произведения коэффициентов α _1·α ₂ отсечем мысленно часть полупространства полушаровой поверхностью (рис. 6.2, б), имеющей центр в точке О и радиус R, и составим уравнение равновесия проекций на ось z всех сил, действующих на отсеченный элемент, для невесомой среды. В таком случае получим:

(б)

где dA — площадь кольца полушаровой поверхности при изменении угла β величину dβ.

Подставив в уравнение (б) значение σ _R, определенное по выражению (а), и решив его, найдем произведение коэффициентов α _1·α ₂. После подстановки значения α _1·α ₂ в выражение (а) получим:

Напряжение σ _R действует на наклонную площадку dA. Рассматривая равновесие элементарной треугольной призмы (рис. 6.2, в), составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:

Подставив в полученное уравнение значение σ _R, по выражению (в), найдем вертикальное напряжение, которое принимается с положительным знаком при сжатии:

Аналогично могут быть найдены остальные пять компонентов напряжения в точке М₁.

Подставляя в формулу (6.1) значение коэффициента К, найденного по табл. 6.1, определяют вертикальное сжимающее напряжение σ _Z, развивающееся в грунтах при действии сосредоточенной силы.

Определение напряжений σ _Z в массиве грунта от действия нескольких сосредоточенных сил (принцип Сен-Венана – принцип независимости действия сил)

Если к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства приложено несколько сил (P₁, P₂, P₃ на рис. 6.3), то при прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями можно использовать принцип суперпозиции и найти значение σ _Z в любой точке М простым суммированием:

где K_i определяется в зависимости от соотношения r_i/z, причем координата z постоянна для данной точки М.

Определение напряжений σ Z при действии любой распределенной нагрузки (метод элементарного суммирования)

Пусть к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства в пределах площади А приложено распределенное давление (рис. 6.4, а). Загруженную площадь можно разбить на небольшие прямоугольники со сторонами b_i и l_i более сложные фигуры по ее контуру. С некоторым приближением давление, распределенное в пределах i-го прямоугольника, можно заменить равнодействующей N₁, приложенной в центре тяжести этого давления. Вертикальное сжимающее напряжение от действия силы N_i составит .

Определив величину от нагрузки каждой из небольших фигур, на которые разбита площадь А, и произведя суммирование этих напряжений, определим напряжение σ _Z от действия распределенной местной нагрузки:

где К_i — коэффициент зависит от отношения r_i/z и берется по табл. 6.1.

Точность расчета увеличивается с уменьшением b_i и l_i.

Рис. 6.4. Схемы к расчету действия любой распределенной нагрузки

Определение σ _Z – под центром прямоугольной площадки загружения при равномерной нагрузке

Если закон распределенная давления по поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства известен, то элементарное суммирование можно заменить интегрированием. При равномерно распределенном давлении после интегрирования по прямоугольной площади загружения значения σ _Z для точек, расположенных под центром прямоугольной площади загружения (рис. 6.4, б), будут

где α – коэффициент, принимаемый по табл. 6.2;

р – равномерно распределенное давление.

При определении напряжения σ _Z на глубине z под центром площади загружения значение α принимают в зависимости от величин и (где l – длинная сторона прямоугольной площади загружения; b – ее ширина).

При нахождении σ _Z под угловыми точками прямоугольной площади загружения (например, под точкой С на рис. 6.4, б) значения α, также можно принимать по табл. 6.2 в зависимости от величин и . В этом случае . Напряжение под угловыми точками определяют по формуле

Рис. 6.4. Схемы к расчету действия равномерно-распределенного давления в пределах прямоугольной площадки загружения.