Приклад множення двох матриць.

Задано дві матриці: А розміром 3х3 та В розміром 3х2

Знайти добуток А·В

Позначимо результуючу матрицю C. Обчислимо послідовно її елементи:

= 2 3 1+0 3 3+3 3 4 = 14	= 2 3 0+0 3 2+3 3 1 = 3
= 5 3 1+1 3 3+4 3 4 = 24	= 5 3 0+1 3 2+4 3 1 = 6
= 7 3 1+6 3 3+1 3 4 = 29	= 7 3 0+6 3 2+1 3 1 = 13

У результаті одержимо:

Операції множення матриць не піддаються комутативному закону. У загальному випадку A·B B·A. Якщо виконується співвідношення A·B = B·A, то матриці A і B мають спеціальну назву: комутуючи переставні.

Характерні випадки множення двох матриць

Множення матриці на матрицю-стовпець дає матрицю-стовпець (вектор):

(1.32)

Множення матриці-рядка на матрицю-стовпець дає скаляр:

(1.33)

Матриця С має тільки один елемент, тобто є скаляром.

Множення матриці-стовпця на матрицю-рядок дає матрицю розміром m 3 n, де m – розмір матриці-стовпця, n - розмір матриці-рядка:

(1.34)

На закінчення, відзначимо одну цікаву особливість множення матриць. Виявляється, що добуток двох ненульових матриць може дати нульову матрицю. З факту, що A·B=0 ще зовсім не впливає, що A чи B=0.

Наприклад:

Транспонування матриць. Перетворення матриці A, що складає в заміні рядків стовпцями (чи стовпців рядками) називається транспонуванням. Отримана внаслідок такого перетворення матриця називається транспонованою до матриці A і позначається звичайно тим же символом, з додаванням верхнього індексу «Т»: A ^Т.

(1.35)

Таким чином, матриця розміром після транспонування буде мати розмір .