Задание 3. Определить устойчивость линейной системы автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой имеет вид:

Определить устойчивость линейной системы автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой имеет вид:

с параметрами ; ; ; ;

Решение:

Частотный критерий устойчивости Михайлова.

Русским ученым А.В. Михайловым в 1936-1938 гг. был разработан критерий, позволяющий судить об устойчивости САР по очертаниям годографа вектора, соответствующего знаменателю частотной передаточной функции замкнутой САР при изменении частоты от нуля до бесконечности. Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа путем подстановки p=jw получают аналитическое выражение вектора D(jw):

Данное уравнение является комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора D(jw) при изменении частоты от 0 до ¥.

Для случая устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при w = 0 годограф начинался на вещественной положительной оси и обходил против часовой стрелки n квадран­тов, нигде не обращаясь в нуль.

Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной.

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения и приведём её к общему виду:

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + … + a_n-1p + a_n.

Подставив значение p = jw, где w – угловая частота колебаний, в формулу общего вида получим характеристический комплекс:

D(jw) = X +jY,

где

X=a_n - w²a_n-2 + w⁴a_n-4 -..., - вещественная часть D(w) содержащая

четные степени w;

Y=w(a_n-1 - w²a_n-3 + w⁴a_n-5 -...-мнимая часть D(w) содержащая

нечетные степени w

и заменив коэффициенты , получим

Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом:

для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не пересекая начала координат, последовательно пересек столько квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином характеристического уравнения системы.

В нашем случае построение было прекращено, когда стало ясно, что годограф из данного квадранта не выйдет. Годограф нарушил последовательный порядок пересечения квадрантов - система будет неустойчивой.

Список используемой литературы

1. Методы и средства защиты компьютерной информации/ Рабочая программа и методические указания М.: МГУТУ, 2005. – 36 с., Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В.

2. Сети ЭВМ и телекоммуникации/ Рабочая программа и методические указания

3. М.: МГУТУ, 2005. – 44 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В.

4. Сетевые технологии/ Рабочая программа и методические указания М.: МГУТУ, 2005.- 32 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В..

5. Измерительно-информационные системы оценки качества пищевых продуктов / Рабочая программа и методические указания М.: МГУТУ, 2005. – 20 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В..

6. Организация ЭВМ и систем/ Рабочая программа и методические указания М.: МГУТУ, 2005. – 40 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В.

7. Методы и средства защиты компьютерной информации/ Лабораторный практикум М.: МГУТУ, 2005.–20с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В.

8. Методы и средства защиты компьютерной информации/Курс лекций М.: МГУТУ, 2004. – 60 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Жиров М.В..

9. Преддипломная практика/ Методические указания М.: МГУТУ, 2006. – 32 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Хисамов Р.Н.

10. Производственная практика/ Методические указания М. МГУТУ, 2006. – 32 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Хисамов Р.Н.

11. Учебная практика/ Методические указания М.: МГУТУ, 2006. – 42 с. Солдатов В.В., Маклаков В.В., Жужалов В.Е., Хисамов Р.Н.

12. Методы и средства защиты компьютерной информации/ Учебно-методическое пособие М.: МГУТУ, 2010. – 25 с.

13. Основы теории управления/ Учебно-методическое пособие М.: МГУТУ, 2010. – 25 с.

14. Системы реального времени/ Рабочая программа для бакалавров по спец. 550200.62 «Автоматизация и управление» М.: МГУТУ, 2011. – 13 с.

15. Надежность, эргономика и качество АСОИУ/ Рабочая программа для бакалавров по спец. 550200.62 «Автоматизация и управление» М.: МГУТУ, 2011. – 22 с.

16. Технические средства автоматизации / Рабочая программа для бакалавров по спец. 550200.62 «Автоматизация и управление» М.: МГУТУ, 2011. – 23 с.

17. Дипломное проектирование/ Методические указания для студентов специальности 220301 – «Автоматизация технологических процессов и производств» М.: МГУТУ, 2011. – 32 с Жиров М.В., Солдатов В.В., Шаховской А.В.

18. Преддипломная практика/ Методические указания для студентов специальности 220301 – «Автоматизация технологических процессов и производств» М.: МГУТУ, 2011. – 33 с Жиров М.В., Солдатов В.В., Шаховской А.В.

19. 18 Производственная практика/ Методические указания для студентов специальности 220301 – «Автоматизация технологических процессов и производств» М.: МГУТУ, 2011. – 35 с Жиров М.В., Солдатов В.В., Шаховской А.В.