Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее двух раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.

Найти вероятность того, что в наугад выбранном двузначном числе цифры одинаковы

Решение:

Вероятность того, что студент успешно напишет контрольную работу по математике, равна 0, 6, по физике 0, 5, по информатике 0, 8. Найти вероятность того, Что студент успешно справится с контрольной работой хотя бы по одному предмету

Решение:

Пусть событие F – студент сдал хотя бы одну контрольную (иначе: «не менее одного»). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = А₁ + А₂ + А₃ = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F = ,
Итак,

=1 – 0, 4*0, 5*0, 2=0, 96
т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

3. Задан закон распределения дискретной величины случайной величины:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Решение:

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

М(Х) = 6*, 02 + 9*0, 3 + 12*0, 25 + 15*0, 15 + 18*0, 1 = 10, 95

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Составим закон распределения :

Найдем математическое ожидание :

М(Х²) = 36*, 02 + 81*0, 3 + 144*0, 25 + 225*0, 15 + 324*0, 1 = 133, 65

Подставив в формулу для вычисления дисперсии и найденное ранее, получим:

=133, 65 – 119, 9 = 13, 75

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.

Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее двух раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0, 6.

Решение:

Событие А произойдёт не менее 2-х раз в 4 независимых испытаниях

Р (А) = р Р (А) = Сm × рm × qn - m

Р = 0, 6

q = 1 – р = 1 – 0, 6 = 0, 4

– вероятность противоположного события. Нет наступления события А в 1-ом испытании.

Найдём произведение npq и определим формулу вычисления:

вероятность случайный величина интегральный

n = 4 npq = 4 × 0, 6 × 0, 4 = 0, 96

Можно использовать формулу Бернули:

Р (А) = С2 × p2 × q2 + С3 × р3 × q1 + С4 × р4 × q0

Найдём через противоположное событие:

Р (А) = 1 – С0 × p0 × q4 + С1 × p1 × q3 = 1 – 1 × 1 × (0, 4)4 + 4 × 0, 6 × (0, 4)3 = 1 – 0, 0256 + 4 × 0, 6 × 0, 064 = 0, 9744 + 0, 1536 = 1, 128

С4 = __4! __ = 4

1! × 3!

Ответ: Если событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, то вероятность равна 1, 128

5. Зная математическое ожидание m=14 и среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины Х, найти вероятность того, что а) Х примет значение из интервала (10; 20), б) абсолютная величина отклонения Х от математического ожидания окажется меньше 4.

Решение:

а) По условию а=10, b=20, m=14, = 4

Так как функция Лапласа нечетна, то

Таким образом

По соответствующим таблицам находим

б) абсолютная величина отклонения Х от математического ожидания будет вычисляться следующим образом

6. Дан протокол измерений случайной величины Х. Для этой случайной величины требуется:

а) составить интервальную таблицу частот,

б) получить точечные оценки для математического ожидания и дисперсии,

в) с надежностью g = 0, 9722 найти доверительный интервал для математического ожидания,

г) построить гистограмму,

д) аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения,

е) с помощью критерия c² проверитьсогласованность теоретического и статистического законов распределений.

Значения случайной величины:

615 598 541 647 531 658 591 584 617 599

558 601 548 582 512 639 574 616 550 616

587 589 595 620 605 573 597 548 518 745

502 637 559 626 562 541 611 623 688 531

567 601 649 576 583 584 548 593 547 556

511 531 607 436 663 565 589 498 704 513

581 613 500 643 513 556 557 583 635 599

539 693 592 527 583 581 571 506 599 644

659 609 576 582 644 562 614 434 496 614

557 496 501 555 471 565 511 530 614 636

Решение:

Записав исходные данные в порядке возрастания, получим следующий упорядоченный вариационный ряд (табл.6.1)

Таблица 6.1 Упорядоченный вариационный ряд

а) Составим интервальную таблицу частот

Найдем размах R=745 – 434=311

Так как объем выборки n=100, а количество разрядов должно быть целым числом, то удобно брать k=7 или k=8.

Расширим диапазон значений вариант до промежутка (753; 433) и выберем k=8.

Тогда длина интервала (753-433)/8=40.

Построим интервальную таблицу частот (табл.6.2). В ту же таблицу занесем вычисленные значения высот столбцов гистограммы.

Границы интервалов	Среднее значение	Частота mi	Относительная частота wi= mi/n	Высота столбца гистограммы hi= wi /
433-473			0, 03	0, 00075
473-513			0, 12	0, 003
513-553			0, 14	0, 0035
553-593			0, 32	0, 008
593-633			0, 23	0, 00575
633-673			0, 12	0, 003
673-713			0, 03	0, 00075
713-753			0, 01	0, 00025

б) Получение точечных оценок

Вычислим точечные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия – оценка дисперсии:

Стандартное отклонение:

в) Отыскание доверительного интервала для математического ожидания

Так как надежность (доверительная вероятность) ,

Ф (t)=0, 4861 (0, 4861=0, 9722/2)

Тогда по таблицам находим t=2, 2

Вычислим предельную ошибку

Таким образом, границы доверительного интервала 578, 2 - 12, 549 и

578, 2 + 12, 549, т.е. доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (565, 651; 590, 749).

г), д) Составим таблицу значений теоретического нормального закона (таблица 6.3)

Среднее значение
	-2, 19	0, 0363	0, 000636
	-1, 49	0, 1315	0, 0023
	-0, 79	0, 2920	0, 00512
	-0, 09	0, 3973	0, 00697
	0, 61	0, 3312	0, 00581
	1, 31	0, 1691	0, 00297
	2, 01	0, 0529	0, 000927
	2, 71	0, 0101	0, 000177

Построим гистограмму и кривую теоретического нормального распределения (рис.1)

Из рисунка видно, что теоретическая нормальная кривая хорошо аппроксимирует статистический закон распределения.

Рисунок 1. Гистограмма и кривая теоретического нормального распределения.

е) Проверим согласованность статистического и выбранного теоретического распределения с помощью критерия .

Вычислим значения р_i (таблица 6.4)

Границы интервалов	Частота mi
433-473		(-1, 844)- (-2, 546)=0, 0275	0, 027
473-513		(-1, 143) - (-1, 844)= 0, 0942	0, 7066
513-553		(-0, 4421)- (-1, 143)=0, 2829	1, 9499
553-593		(0, 26)- (-0, 442)=0, 2726	0, 8242
593-633		(0, 96)- (0, 26)=0, 2289	0, 0005
633-673		(1, 662)- (0, 96)=0, 12
673-713		(2, 363)- (1, 662)=0, 0394	0, 2243
713-753		(3, 065)- (2, 363)=0, 00813	0, 043
			3, 7312

Вычислим статистику:

=3, 7312

Посчитаем число степеней свободы r=8-3=5

Выбрав уровень значимости =0, 05 в таблице найдем =11, 1

Так как то можно принять гипотезу о нормальном распределении, т.е. в данном случае полученный теоретический закон хорошо аппроксимирует статистическое распределение.